ตัวอย่างที่ 6.1 ลูกตุ้มเคลื่อนที่เป็นรูปทรงกรวย

      ลูกบอลเล็ก ๆ มีมวล m ถูกแขวนด้วยเชือกที่มีความยาว L ลูกบอลได้หมุนรอบด้วยอัตราเร็วคงที่ v ในแนวราบรัศมีเป็นวงกลม r ดังแสดงในรูปด้านล่าง

รูป ตัวอย่างที่ a) ลูกตุ้มเคลื่อนที่ทรงกรวย ส่วนของลูกบอลเคลื่อนที่แบบวงกลมแนวราบ b) แรงกระทำบนลูกบอล

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

สนใจหนังสือ และความรู้ของผู้เขียน

เรื่องอื่น ๆ มีทั้งโหลดได้ฟรี และราคาถูก นอกเหนือจากนี้ 

คลิก 

มีหนังสืออากาศยาน และ เครื่องยนต์เจ็ทเบื้องต้น

ทำเป็นเล่ม อีบุ๊ค เพื่อสนับสนุนเว็บไซต์

หากผู้อ่านสนใจ

คลิก

(เพราะว่าเชือกหมุนเหวี่ยงรูปร่างเหมือนกรวย เรียกระบบนี้ว่า ลูกตุ้มเคลื่อนที่เป็นรูปทรงกรวย (Conical pendulum)) ที่อธิบายในรูปด้านบน เพื่อหาค่า v

วิธีทำ

กรอบความคิด: จินตนาการการเคลื่อนที่ของลูกบอลในรูปที่ a และหมุน ทำให้มันเป็นรูปทรงกรวย และบอลเคลื่อนที่แบบแนวราบ

แบ่งประเภทหมวดหมู่: ลูกบอลในรูปด้านบน ไม่มีความเร่งในแนวดิ่ง เพราะฉะนั้น เราจำลองมันเป็นอนุภาคที่มีความสมดุลในทิศทางแนวดิ่ง มันจะเจอกับความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลางในทิศทางแนวราบ ดังนั้น จะจำลองอนุภาคที่มีการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอในทิศทางนี้

การวิเคราะห์: เป็นเหตุให้ q คือมุมระหว่างเชือกกับแนวดิ่ง ในผังของแรงกระทำบนลูกบอลในรูป b แรง T ใช้แรงโดยเชือกบนลูกบอลในการแก้ปัญหาไปยังส่วนประกอบย่อยในแนวดิ่ง T cos q และแนวราบส่วนประกอบย่อย T sin q กระทำไปสู่ศูนย์กลางของส่วนวงกลม

นำมาใช้กับอนุภาคในแบบจำลองสมดุลในทิศทางแนวดิ่ง

S F_y = T cos q - mg = 0

T cos q = mg                  (1)

ใช้สมการที่ 6.1 จำอนุภาคในการเคลื่อนที่วงกลมสม่ำเสมอ ในทิศทางแนวราบ

      S F_x = T sin q = ma_c = m(v²/r)       (2)

หารสมการ (2) ด้วยสมการ (1)  และใช้ sin q / cos q = tan q

tan q = v²/rg

แก้ปัญหาเพื่อหา v

v = Ö(rg tan q)

รวมเข้าด้วยกัน r = L sin q จากเรขาคณิตในรูป a

v = Ö(Lg sin q tan q)                           ตอบ

รูปวิธีทำ

ท้ายสุด: สังเกตว่าความเร็วเป็นอิสระของมวลของลูกบอล พิจารณาเหตุการณ์ที่ซึ่งเมื่อ q ไปถึง 90°  ดังนั้น เชือกเป็นแนวราบ เพราะว่าเส้นสัมผัสวงกลมของ 90° เป็นไม่สิ้นสุด (Infinite) ความเร็ว v ก็ไม่สิ้นสุด

      ซึ่งบอกเราได้ว่าเชือกไม่สามารถเป็นไปได้ที่อยู่ในแนวราบ หากมันเป็น พวกมันจะไม่มีส่วนของแรงย่อยในแนวดิ่งของแรง T เพื่อสมดุลแรงโน้มถ่วงบนลูกบอล นั่นเป็นเหตุที่ว่าทำไมกล่าวถึงในการพิจารณาว่ารูปตัวอย่างด้านบน นั่นน้ำหนักของลูกยางในรูปวางบนโต๊ะไร้แรงเสียดทาน

ตัวอย่างที่ 6.2 หมุนได้เร็วเท่าไหร่

ลูกบอลมีมวล 0.500 kg ผูกติดกับปลายที่ยาว 1.50 m แล้วเหวี่ยงหมุนลูกบอลเคลื่อนที่ในแนวราบเป็นวงกลมดังแสดงในรูปที่ 6.1 หากว่าเส้นเชือกทนต่อแรงดึงสูงสุดได้ 50.0 N อัตราเร็วสูงสุดที่ลูกบอลจะสามารถเคลื่อนที่ก่อนที่เชือกขาดจะเป็นเท่าไหร่? สมมติว่าเชือกยังคงอยู่ในแนวราบในระหว่างการเคลื่อนที่

วิธีทำ

กรอบความคิด: ทำความเข้าใจความแข็งแกร่งของเชือก ความเร็วลูกบอลสามารถเคลื่อนที่ได้ก่อนที่เชือกจะขาด ยิ่งกว่านั้น เราคาดว่าลูกบอลที่มีขนาดใหญ่กว่า จะที่ทำให้เส้นเชือกขาดที่ความเร็วต่ำ (ลองจินตนาการการเหวี่ยงลูกโบลิ่งบนเชือก)

แบ่งประเภทหมวดหมู่: การเคลื่อนที่ของลูกบอลในรูปแบบวงกลม เราจะจำลองเป็นอนุภาคในการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ

การวิเคราะห์: จะรวมความตึงของเชือก และความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลางไปยังกฎข้อที่สองของนิวตัน ซึ่งพิจารณาได้จากสมการที่ 6.1

T = m(v²/r)

แก้ปัญหาสำหรับ v

(1) v = Ö(Tr/m)

หาอัตราเร็วสูงสุดของลูกบอลที่สามารถทำให้เกิดความตึงสูงสุดของเส้นเชือกที่ทนได้

v_max = Ö(T_maxr/m)

= Ö((50N)(1.5m)/(0.05kg))

= 12.2 m/s

รูปวิธีทำ

ท้ายสุด: สมการ (1) ที่แสดงที่ v เพิ่มด้วย T และลดด้วย m ที่มากกว่า ซึ่งเราคาดว่าจากกรอบแนวคิดของปัญหา

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“มันไม่สำคัญว่า คุณจะล้มเหลวมากี่ครั้ง

ขอเพียงคุณทำมันให้ สำเร็จสักครั้งก็พอ”

มาร์ก คูบาน

<หน้าที่แล้ว                                 สารบัญ                    หน้าต่อไป>