4.6 ความเร็ว และความเร่งสัมพัทธ์

      ในหัวข้อนี้ เราจะได้อธิบายถึงวิธีการสังเกต จากการเคลื่อนที่ของอนุภาค และมีการสังเกตการณ์ โดยผู้สังเกตการณ์จะอยู่ต่างที่กัน โดยอยู่ใน กรอบอ้างอิง (Frames of reference) ที่แตกต่างกัน โดยสัมพันธ์เกี่ยวข้องกันกับอีกฝั่งหนึ่ง

รูปตัวอย่างในเรื่องความเร็วสัมพัทธ์

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

      กรอบอ้างอิงสามารถอธิบายได้โดยระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ที่ซึ่งผู้สังเกตการณ์หนึ่งอยู่นิ่ง ที่อ้างอิงเกี่ยวกับจุดกำเนิด

      เรามาลองคิดพิจารณาในสถานการณ์ตัวอย่าง ซึ่งผู้สังเกตการณ์เหล่านี้จะอยู่ในตำแหน่งที่แตกต่างกัน ดังรูปด้านล่าง พิจารณาถึงสองผู้สังเกตการณ์ A และ B ตามแนวเส้นตัวเลข

รูปผู้สังเกตการณ์อยู่ในตำแหน่งที่ต่างกันสองที่ เพื่อทำการวัดค่าที่แตกต่างกัน

a) ผู้สังเกตการณ์ A อยู่ในตำแหน่งจุดเริ่มต้น และผู้สังเกตการณ์ B อยู่ในตำแหน่ง -5 ผู้สังเกตการณ์ทั้งคู่จะทำการวัดตำแหน่งของอนุภาค P

b) หากว่าผู้สังเกตการณ์ทั้งคู่ สังเกตจากตำแหน่งที่ตัวอยู่ ตำแหน่งของ P จะไม่สอดคล้องกัน

       ในรูป a ผู้สังเกต A อยู่ในตำแหน่งจุดเริ่มต้น (Origin) ตามแนวแกน x_A ในหนึ่งมิติ ส่วนผู้สังเกต B อยู่ในตำแหน่ง x_A =-5 ที่เราแสดงถึงตำแหน่งซึ่งสามารถเปลี่ยนแปลงได้ไปตามแนวแกน x_A เพราะว่าผู้สังเกตการณ์ A อยู่ที่จุดเริ่มต้นของแกนนี้ ทำให้ผู้สังเกตการณ์ทั้งคู่สามารถวัดตำแหน่งของจุด P ซึ่งเป็นบริเวณที่ x_A =+5

      ถ้าสมมติว่าผู้สังเกตการณ์ B ตัดสินใจว่าเขาจะอยู่ที่จุดเริ่มต้นนั้นตามแนวแกน x_B ดูในรูปที่ B ขอให้สังเกตว่า ผู้สังเกตการณ์สองคนไม่เห็นด้วยกับค่าของตำแหน่งของจุด P โดยผู้สังเกตการณ์ A อ้างจุด P เป็นตำแหน่งที่มีค่า +5 ขณะที่ผู้สังเกตการณ์ B อ้างว่ามันเป็นตำแหน่งที่ค่าเท่ากับ +10

กล่าวได้ว่าผู้สังเกตการณ์ทั้งสองนั้นถูกต้อง แม้ว่าพวกเขาจะทำการวัดในที่ที่ต่างกัน การที่การวัดของพวกเขามีค่าแตกต่างกันเพราะว่า พวกเขาทำการวัดจากกรอบที่แตกต่างกันของกรอบอ้างอิง

      ทีนี้ มาลองนึกภาพตอนนี้ที่ผู้สังเกตการณ์ B ในรูปที่ b กำลังเคลื่อนที่ไปทางขวาตามแกน x_B ตอนนี้ทั้งสองผู้สังเกตการณ์ จะได้วัดค่าที่มีความแตกต่างกันมากขึ้น ผู้สังเกตการณ์ A ยังอ้างที่จุด P ซึ่งยังคงในอยู่ส่วนที่คงที่ในตำแหน่งที่มีค่า +5

      ในขณะเดียวกัน ผู้สังเกตการณ์ B อ้างถึงตำแหน่งของ P เปลี่ยนแปลงต่อเนื่องกับเวลา แม้ว่าจะกำลังผ่านผู้สังเกตการณ์ A พบว่าผู้สังเกตการณ์ทั้งสองถูกต้อง ถึงแม้ที่มีความแตกต่างในการวัดของพวกเขาที่เกิดขึ้นจากกรอบอ้างอิงที่แตกต่างกัน

                เราสำรวจปรากฏการณ์ต่อไปโดยพิจารณาจากผู้สังเกตการณ์ทั้งสองกำลังดูคนกำลังเดินเดินบนทางเลื่อน (Beltway) ที่สนามบิน ดูในรูปด้านล่าง

รูป ผู้สังเกตการณ์สองคนวัดค่าความเร็วของผู้ชายคนหนึ่งที่กำลังเดินบนทางเลื่อน

ผู้หญิงที่ยืนอยู่บนทางเลื่อนเห็นผู้ชายที่กำลังเดินอยู่เป็นปกติ ส่วนผู้หญิงที่กำลังสังเกตที่อยู่บนพื้นที่อยู่กับที่ จะเห็นผู้ชายเดินเร็วขึ้น เพราะว่าจะมีความเร็วของทางเลื่อน ผสมรวมเข้ากับผู้ชายที่กำลังเดิน

      หญิงผู้สังเกตการณ์ทั้งสอง มองไปที่ชายคนเดียวกัน และไปถึงด้วยค่าต่างกันสำหรับความเร็วของผู้ชาย ทั้งคู่ถูกต้อง ความแตกต่างในการวัดของพวกเขาเป็นผลมาจากความเร็วสัมพัทธ์ของกรอบอ้างอิงเหล่านั้น

      ในสถานการณ์ทั่วไปที่กว้างขึ้น ลองพิจารณาอนุภาคในตำแหน่งที่จุด P ในรูปด้านล่าง

รูป ตำแหน่งอนุภาคหนึ่งที่ P เป็นการพิจารณาโดยนักสังเกตการณ์สองคน คนหนึ่งอยู่ที่กรอบอ้างอิงอยู่กับที่ S_A และอีกคนอยู่ในกรอบ S_B ซึ่งเคลื่อนที่ไปทางขวาด้วยความเร็วคงที่ v_BA  เวกเตอร์ r_PA เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาคสัมพัทธ์ต่อ S_A และ r_PB  เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของมันที่สัมพัทธ์กับ S_B     

ลองจินตนาการว่า การเคลื่อนที่ของอนุภาคเหล่านี้ จะถูกอธิบายโดยผู้สังเกตการณ์สองคน ผู้สังเกตการณ์ A กรอบอ้างอิง S_A อยู่กับที่สัมพัทธ์กับพื้นโลก และผู้สังเกตการณ์ที่สอง B ในกรอบอ้างอิง S_B ที่กำลังเคลื่อนที่ไปทางขวาซึ่งสัมพัทธ์กับ S_A (และเมื่อเทียบการสัมพัทธ์กับโลก) ด้วยความเร็วคงที่ V_BA

       ในการอธิบายของความเร็วสัมพัทธ์นี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ห้อยคู่ ห้อยแรกแสดงให้เห็นถึงสิ่งที่ตั้งข้อสังเกต และตัวห้อยที่สองหมายถึงผู้ที่จะทำการสังเกต ดังนั้นสัญลักษณ์ V_BA  หมายถึง ความเร็วของผู้สังเกตการณ์ B (และติดมากับ กรอบ S_B) และวัดโดยผู้สังเกตการณ์ A ที่มีเครื่องหมายนี้ ผู้สังเกตการณ์ B วัด A ที่กำลังเคลื่อนที่ไปทางซ้ายด้วยความเร็ว V_AB = -V_BA สำหรับวัตถุประสงค์ในการอธิบาย ให้เราวางแต่ละผู้สังเกตการณ์ที่เขา หรือแหล่งกำเนิดเหล่านั้นตามลำดับ

       เรากำหนดเวลา t = 0 ซึ่งชั่วขณะที่ซึ่งจุดกำเนิดของสองกรอบอ้างอิงตรงกับในพื้นที่ ดังนั้นในเวลา t จุดกำเนิดของกรอบอ้างอิงจะแยกโดยระยะทาง v_BAt เราป้ายตำแหน่ง P ของอนุภาคเมื่อเทียบกับผู้สังเกตการณ์ A ด้วยเวกเตอร์ตำแหน่ง  และสัมพัทธ์กับผู้สังเกตการณ์ B ด้วยเวกเตอร์ตำแหน่ง r_PB ทั้งสองที่เวลา t จากรูปด้านบน เราเห็นเวกเตอร์ r_PA  และ r_PB  ที่เกี่ยวข้องซึ่งกัน และกันผ่านการแสดงออกในสมการ

รูปสมการที่ 4.19 และ 4.20

กำหนดให้   U_PA = ความเร็วของอนุภาค P ที่วัดด้วยผู้สังเกตการณ์ A

                U_PB = ความเร็วของอนุภาค P ที่วัดด้วยผู้สังเกตการณ์ B

หมายเหตุ เราใช้สัญลักษณ์ u สำหรับความเร็วอนุภาคมากกว่า v ซึ่งเรามีความพร้อมที่จะใช้สำหรับความเร็วสัมพัทธ์ของกรอบอ้างอิงทั้งสอง

สมการที่ 4.19 และ 4.20 เราเรียกว่า สมการการเปลี่ยนแปลงของกาลิเลโอ (Galilean transformation equations) พวกมันเกี่ยวข้องกับตำแหน่ง และความเร็วของอนุภาคซึ่งวัดโดยผู้สังเกตการณ์ในการเคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน ให้สังเกตรูปแบบของตัวห้อยในสมการ 4.20 เมื่อความเร็วสัมพัทธ์มีการเพิ่ม ตัวห้อยภายใน (B) เป็นเหมือนกัน และด้านนอก (P,A) ตรงกับตัวห้อยบนความเร็วในด้านซ้ายของสมการ

      แม้ว่าผู้สังเกตการณ์ในสองกรอบอ้างอิงวัดความเร็วของอนุภาคได้แตกต่างกัน พวกเขาวัดที่ความเร่งเดียวกัน เมื่อ เป็นค่าคงที่ เราสามารถยืนยันได้ว่าเอาเวลาอนุพันธ์ของสมการที่ 4.20

รูปอนุพันธ์ของสมการที่ 4.20

นั่นคือ การวัดความเร่งของอนุภาค วัดโดยผู้สังเกตการณ์ในกรอบอ้างอิง เป็นเช่นเดียวกันกับผู้วัดจากการสังเกตการณ์ที่อื่น ๆ ที่เคลื่อนไหวด้วยความเร็วคงที่สัมพัทธ์ต่อกรอบแรก

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“เราจะมีเวลา มากขึ้น

ถ้าเรา ยุ่ง เรื่องของคนอื่น

ให้น้อยลง”