4.5 ความเร่ง กับรัศมีสัมผัส

      ทีนี้มาพิจารณาถึงการเคลื่อนที่ที่มีรายละเอียดมากกว่าหัวข้อที่แล้ว (4.4) ดู สมมติให้ อนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่ไปทางขวาตามแนวเส้นโค้ง และความเร็วของมันเกิดการเปลี่ยนแปลงทั้งทิศทาง และขนาด ดังพิจารณาในรูปด้านล่าง

รูปการเคลื่อนที่ของอนุภาคตามเส้นโค้งในระนาบ เอ็กซ์วาย หากเวกเตอร์ความเร็ว จะสัมผัสกับส่วนของเส้นเสมอ เปลี่ยนทั้งทิศทาง และขนาด ส่วนประกอบของความเร่งแบ่งเป็นแนวสัมผัส a_t และแนวรัศมี a_r

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

รูปถนนข้ามฝั่งเป็นวงกลม

ในสถานการณ์นี้ เวกเตอร์ความเร็ว มักจะสัมผัสเส้นทางเสมอ เวกเตอร์ความเร่ง a  อย่างไรก็ดี ที่บางมุมที่เส้นทาง แต่ละจุดคือ A, B และ C ในรูปด้านบน

      เส้นประสีน้ำเงินแสดงให้เห็นถึง ความโค้งของเส้นทางที่เกิดขึ้นจริงในแต่ละจุด รัศมีแต่ละวงกลมเท่ากับรัศมีของเส้นทางของความโค้งแต่ละจุด

      ขณะที่อนุภาคเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้งในรูปด้านบน ทิศทางโดยรวมของเวกเตอร์ความเร่งทั้งหมด เปลี่ยนแปลงจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่ง ณ ชั่วขณะใด ๆ

      เวกเตอร์นี้ สามารถแก้ไขได้เป็นสองส่วน ตั้งอยู่บนพื้นฐานของจุดกำเนิดที่ศูนย์กลางของวงกลมที่สอดคล้องชั่วขณะ ส่วนประกอบของรัศมีหนึ่ง

      รัศมีของวงกลม a_r และส่วนที่สัมผัสวงกลม a_t ตั้งฉากกันกับรัศมีนี้ เวกเตอร์ความเร่ง a โดยรวมสามารถเขียนผลรวมเวกเตอร์ของส่วนประกอบต่าง ๆ ได้ดังนี้

รูปสมการที่ 4.16

องค์ประกอบความเร่งสัมผัสเนื่องมาจาก การเปลี่ยนแปลงในความเร็วของอนุภาค ส่วนนี้จะขนานไปกับความเร็วชั่วขณะ และขนาดของมัน ความเร่งสัมผัส หาได้จาก

รูปสมการที่ 4.17

องค์ประกอบความเร่งในแนวรัศมีเกิดขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว และหาได้จาก

a_r = -a_c = -(v²/r)                               (4.18)

กำหนดให้ r = รัศมีความโค้งของแนวเส้นทางที่จุดในคำถาม

เราตระหนักขนาดขององค์ประกอบของรัศมีของความเร่งเป็นความเร็วสู่ศูนย์กลางอธิบายในหัวข้อ 4.4 ส่วนเครื่องหมายลบในสมการที่ 4.18 บอกถึงทิศทางของความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลางคือ เข้าหาศูนย์กลางของวงกลม ที่เป็นตัวแทนของรัศมีความโค้ง ทิศทางตรงข้ามที่เป็นรัศมีหน่วยเวกเตอร์ r  ซึ่งมักจะชี้ห่างจากจุดกำเนิดที่ศูนย์กลางของวงกลม

      เพราะว่า a_r  และ a_t  เป็นการตั้งฉากขององค์ประกอบเวกเตอร์ของ a  สรุปได้ว่าขนาดของ a  เท่ากับ a = Ö(a_r²+a_t²) ที่ความเร็วที่กำหนด a_r มีขนาดใหญ่เมื่อรัศมีความโค้งมีขนาดเล็ก (ณ จุด A และ B ในรูปด้านบน) และเล็กเมื่อ r มีขนาดใหญ่ (ที่จุด C) ทิศทางของเวกเตอร์ a_t ทั้งเป็นไปในทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ v (หากว่า v ลดลง ที่จุด B)

      ในการเคลื่อนที่รูปแบบวงกลม ที่ v คือค่าคงที่ a_t = 0 และมีความเร่งเกิดขึ้นเสมอดังที่อธิบายในหัวข้อ 4.4 กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเคลื่อนที่รูปแบบวงกลมเป็นการเคลื่อนที่กรณีพิเศษของการเคลื่อนที่ตามเส้นทางโค้งทั่วไป นอกจากนี้ หากทิศทางของเวกเตอร์ v  ไม่มีการเปลี่ยนแปลง ก็ไม่มีความเร่งเกิดขึ้นในแนวรัศมี และเป็นเพียงการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ (ในกรณีนี้ a_r = 0 แต่ a_t อาจไม่ใช่ศูนย์)    

ตัวอย่างที่ 4.7  ขับรถขึ้นเนิน

รูปรถขึ้นเนินสะพาน

      รถยนต์คันหนึ่งเคลื่อนที่ออกจากป้ายหยุดรถ ออกตัวด้วยความเร่งคงที่ 0.3 m/s² ขนานไปกับถนน รถแล่นผ่านเนินสะพานรูปร่างครึ่งวงกลม วิ่งขึ้นไปบนเนินที่สามารถวัดรัศมีได้ 500 m เมื่อรถยนต์เคลื่อนที่มาถึงเนินบนสุด เวกเตอร์ความเร็วของมันคือแนวนอน และมีขนาดความเร็วเท่ากับ 6 m/s ให้หาว่าขนาด และทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งโดยรวมของรถชั่วขณะหนึ่งที่อยู่บนเนินสูงสุดของสะพาน

รูปตัวอย่างที่ 4.7

วิธีทำ

กรอบความคิด: สถานการณ์นี้จะใช้รูปที่ 4.17a อีกทั้งประสบการณ์ที่มีในด้านการขับรถขึ้นเนินสะพาน

แบ่งประเภทหมวดหมู่: เพราะว่า รถที่กำลังเร่ง เคลื่อนที่ไปตามทางโค้ง เราจัดหมวดหมู่ของปัญหานี้เป็นรูปแบบอนุภาคที่มีทั้งความเร่งในแนวสัมผัส กับแนวรัศมี จะเห็นว่ามันเป็นปัญหาที่มีการทดแทนค่อนข้างง่าย

ความเร่งในแนวรัศมี หาได้จากสมการที่ 4.18 ที่มี v = 6 m/s และ r = 500 m เวกเตอร์ความเร่งในแนวรัศมีคือทิศทางเคลื่อนที่ลงทางตรง และเวกเตอร์ความเร่งในแนวสัมผัสมีขนาดเท่ากับ 0.3 m/s² และเป็นแนวราบ

ประเมินความเร่งในแนวรัศมี

รูปวิธีทำตัวอย่างที่ 4.7

หา มุม f (ดูที่รูป b) ระหว่างเวกเตอร์ a  และแนวราบ

รูปวิธีทำตัวอย่างที่ 4.7

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“เวลา กับ โอกาส
เป็นสองอย่างที่ไม่เคยรอเรา
ถ้ามันมาแล้วไม่รีบคว้าเอาไว้
จะเป็นการยากที่จะได้พบมันอีกหน”