ตัวอย่างที่ 4.3 การยิงลูกบอล

ในการสาธิตเครื่องยิงลูกบอล โดยลูกบอลจะถูกยิงออกมาในแนววิถีโค้งออกจากกระบอกเครื่องยิง ให้ไปถูกเป้าที่กำลังหล่นลงมา (ลูกบอลอีกลูก) ดูที่รูปด้านล่าง  

รูปตัวอย่างที่ 4.3 การยิงบอลด้วยเครื่องยิงลูกบอล

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

รูปแสดงผังการยิง

วิธีทำ

กรอบความคิด: เราคิดปัญหาที่เกิดขึ้นโดยศึกษาในรูปด้านบน โปรดสังเกตว่า ปัญหาไม่ได้มีตัวเลข ที่จะนำมาใช้ในการคำนวณ

แบ่งประเภทหมวดหมู่: ลูกบอลทั้งสองมีแรงโน้มถ่วงของโลกเข้ามาเกี่ยวข้อง เราจะจัดการแก้ปัญหานี้ในสองส่วนที่มีความเกี่ยวข้องกันกับวัตถุที่มีการตกอย่างอิสระ คือ ลูกบอลจากเป้าเคลื่อนที่แบบหนึ่งมิติตกลงมา และลูกบอลที่ยิงจากเครื่องยิงที่เคลื่อนที่เป็นแบบวิถีโค้ง

การวิเคราะห์: เป้า T เป็นการจำลองอนุภาคภายใต้ความเร่งคงที่ในหนึ่งมิติ รูปผังด้านบน แสดงให้เห็นพิกัดของ y เริ่มต้น y_iT ของเป้าคือ x_T tan q_i และความเร็วเริ่มต้นของมันคือ ศูนย์ ตกลงมาด้วยความเร่ง เท่ากับ a_y = –g วิถีโค้ง P คือการจำลองอนุภาคเคลื่อนที่ภายใต้ความเร่งคงที่ในทิศทางแกนวาย และอนุภาคเคลื่อนที่ภายใต้ความเร็วคงที่ในทิศทางแกนเอ็กซ์

เขียนสมการอธิบายพิกัดแกนวายของลูกบอลที่ขณะใด  ๆ หลังจากทำการปล่อย สังเกตว่า ความเร็วเริ่มต้นเป็นศูนย์

(1)                                      y_T = y_iT+ (0)t – ½gt²=  x_T tan q_i – ½gt²

(2)                                       

เขียนสมการอธิบายพิกัดแกนวายของการเคลื่อนที่วิถีโค้งที่ขณะใด ๆ

(2)        y_P = y_iP+ v_yiPt – ½gt²= 0 +v_iP sin q_i – ½gt²

= (v_iP sin q_i)t – ½gt²

เขียนสมการอธิบายสำหรับพิกัดแนวแกนเอ็กซ์ของการเคลื่อนที่วิถีโค้งที่ขณะใด ๆ

x_P = x_iP+ v_xiPt = 0 +( v_iP cos q_i)t

= (v_iP cos q_i)t

แก้ปัญหานี้ โดยการย้ายข้างสมการเพื่อหาฟังชันก์สมการของเวลาของตำแหน่งแนวนอนของการเคลื่อนที่วิถีโค้ง

t = x_P / (v_iP cos q_i)

แทนค่าเวลาที่ได้ในสมการข้อ (2) จะได้

(3)        y_P = (v_iP sin q_i)( x_P / (v_iP cos q_i)) – ½gt²

= x_P tan q_i – ½gt²

เปรียบเทียบสมการในตัวอย่าง คือ (1) กับ (3) จะเห็นว่า เมื่อพิกัดแกนเอ็กซ์ของการเคลื่อนที่วิถีโค้ง และเป้า เหมือนกัน นั่นคือ เมื่อ x_T = x_P พิกัดวายเหล่านั้น จะกำหนดโดยสมการข้อ (1) กับ (3) จะให้ผลที่เหมือนกัน และเกิดการชนปะทะกัน    

                                                                  ตอบ

สังเกตว่า การปะทะกันจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ v_iP sin q_i³ Ö(gd/2)

กำหนดให้ d คือระดับความสูงเริ่มต้นของเป้าหมายเหนือพื้นดิน

ถ้าค่า v_iP sin q_i น้อยกว่าค่านี้แล้ว การเคลื่อนที่วิถีโค้งจะลงพื้นก่อนที่จะถึงเป้าในจุดที่จะปะทะนั่นเอง

ตัวอย่างที่ 4.4 การโยนหิน

หินก้อนหนึ่งถูกขว้างจากยอดตึก ให้หินลอยขึ้นข้างบนทำมุม 30 องศา กับแนวราบด้วยความเร็วเริ่มต้นเท่ากับ 20 เมตรต่อวินาที ดังแสดงในรูปด้านล่าง

รูปตัวอย่างที่ 4.4

ความสูงจากพื้นโลกไปถึงจุดนักขว้างหินมีระยะเท่ากับ 45 เมตร จงหา

a) ใช้เวลาแค่ไหนที่หินจะตกไปถึงพื้นดิน?

b) ความเร็วของหินก่อนที่จะกระทบกับพื้นดินมีค่าเท่าไหร่?

วิธีทำ

a) ใช้เวลาแค่ไหนที่หินจะตกไปถึงพื้นดิน?

แบ่งประเภทหมวดหมู่: ศึกษาที่รูปตัวอย่างนี้ด้านบน เราจะเห็นถึง ขนาด และแนววิถีการเคลื่อนที่ต่าง ๆ ของการเคลื่อนที่ของหิน เราแบ่งประเภทปัญหานี้เป็นปัญหาของการเคลื่อนที่แบบวิถีโค้ง จำลองให้หินเป็นอนุภาคภายใต้ความเร่งคงที่ในทิศทางแกนวาย และอนุภาคมีความเร็วคงที่ในทิศทางแกนเอ็กซ์

การวิเคราะห์: จากโจทย์กำหนดให้ x_i = y_i =0, y_f = –45 m, a_y= –g และ v_i = 20 m/s (ที่ค่าของ y_f เป็นค่าลบเพราะว่าเราเลือกจุดที่ขว้างหินเป็นจุดกำเนิด)

หาความเร็วเริ่มต้นของหิน แล้วแตกแรงตามแนวแกนเอ็กซ์ และวาย

v_xi = v_i cos q_i= (20 m/s) cos 30°= 17.3 m/s

v_yi = v_i sin q_i= (20 m/s) sin 30°= 10 m/s

แสดงตำแหน่งแนวตั้งของหินจากองค์ประกอบแนวดิ่งโดยใช้สมการที่ 4.9

y_f = y_i + v_yit + ½g_yt²

ใส่ตัวเลขจากโจทย์ลงไป

–45 m = 0 + (10 m/s)t + ½(–9.80 m/s²)t²

ย้ายข้างสมการเพื่อหาเวลา

t = 4.22 s

ดังนั้น จะใช้เวลา 4.22 วินาทีที่หินจะตกลงสู่พื้น         ตอบ

b) ความเร็วของหินก่อนที่จะกระทบกับพื้นดินมีค่าเท่าไหร่?

การวิเคราะห์: ใช้องค์ประกอบของแกนวายของสมการ 4.8 เพื่อให้ได้ความเร็วในส่วนประกอบของแกนวายของหินก่อนที่มันจะตกกระทบพื้น

v_yf = v_yi + a_yt

แทนค่าตัวเลขที่คำนวณได้ t = 4.22 s

v_yf = 10 m/s + (–9.80 m/s²)(4.22 s) = –31.3 m/s

ใช้องค์ประกอบนี้กับองค์ประกอบในแนวนอน v_xf = v_xi = 17.3 m/s เพื่อหาความเร็วของหินที่ t = 4.22 s

รูปวิธีทำ

ดังนั้น ความเร็วสุดท้ายก่อนที่จะกระทบพื้นมีค่าเท่ากับ 35.8 เมตรต่อวินาที                                            ตอบ

ตัวอย่างที่ 4.5 เล่นสกี

นักเล่นสกี ได้กระโดดสกีจากพื้นที่แนวราบด้วยความเร็วในการเคลื่อนที่ 25 เมตรต่อวินาทีดังแสดงในรูปตัวอย่างนี้ด้านล่าง เพื่อกระโดดลงไปที่พื้นเอียงด้านล่างที่มีมุม 35 องศา ให้หาว่า นักกระโดดสกีจะลงตรงบริเวณไหนของพื้นเอียง

รูปตัวอย่างที่ 4.5

วิธีทำ

กรอบความคิด: เราสามารถสร้างกรอบความคิดของปัญหานี้ โดยขึ้นอยู่กับการสังเกตในการนับค่าในใจ โดยเราประมาณการว่านักสกีอยู่ในอากาศนาน 4 วินาที และเคลื่อนที่ไปตามแนวเอียง 100 เมตร เราจะคำนวณค่าของ d ซึ่งเป็นระยะทางในการเคลื่อนที่ตามแนวพื้นเอียง เพื่อจะหาค่าระยะจุดที่ลง

แบ่งประเภทหมวดหมู่: เราจัดให้เป็นการเคลื่อนที่ของอนุภาคแบบวิถีโค้ง

การวิเคราะห์: มันจะสะดวกถ้าเราจะกำหนดจุดเริ่มต้น ของการกระโดดจากจุดกำเนิด ค่าความเร็วตอนต้นจะแยกไปตามแนวแกน นั่นคือ v_xi= 25 m/s และ v_yi= 0 จากสามเหลี่ยมมุมฉากในรูปด้านบนของตัวอย่างนี้ เราจะเห็นพิกัดของนักกระโดดทั้งเอ็กซ์ และวาย ที่จุดจะลง กำหนดโดย x_f = d cosf และ y_f = –d sinf 

แสดงพิกัดของนักสกีที่กระโดดเป็นฟังชันก์ของเวลา

(1)                          x_f = v_xit

(2)                          y_f = v_yit + ½g_yt²= –½g_yt²

แทนค่าของ x_f และ y_f ที่จุดลงพื้น

(3)                          d cosf = v_xit

(4)                          –d sinf = –½g_yt²

แก้สมการข้อ (3) สำหรับ t และแทนค่าผลที่ได้ ไปยังสมการข้อ (4)

–d sinf = –½g((d cosf)/v_xi)²

แก้สมการเพื่อหาค่า d

รูปวิธีทำ

ประเมินพิกัด เอ็กซ์ และวายของจุดที่ซึ่งนักสกีเหินลงพื้น

x_f = d cosf = (109 m) cos 35°= 89.3 m

y_f = –d sinf = – (109 m) sin 35°= – 62.5 m

ท้ายสุด: ให้เราเปรียบเทียบผลลัพธ์กับการที่เราสมมติไว้แต่แรก ที่เราคาดว่าระยะที่เราคาดคะเนประมาณ 100 เมตร และผลที่ได้คือ 89.3 เมตร ซึ่งน่าจะเป็นที่แน่นอนสำหรับคำตอบ และค่านี้มันอาจจะมีประโยชน์ที่จะคำนวณในช่วงเวลาที่นักสกีลอยอยู่กลางอากาศ (ถ้ามีการถาม) และนำไปเปรียบเทียบกับการประมาณการเบื้องต้นที่ประมาณว่าเป็น 4 วินาที

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“ทุกสิ่งที่เราจับต้องได้ ล้วนไม่ยั่งยืน

การพบกัน เป็นสิ่งชั่วคราว

การพลัดพรากจากกัน เป็นสิ่งสมบูรณ์”