เวกเตอร์ตำแหน่งสำหรับการเคลื่อนที่ของอนุภาคในระนาบเอ็กซ์วายสามารถเขียนเป็นสมการได้ดังนี้

รูปสมการที่ 4.6

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

กำหนดให้ x, y และเวกเตอร์ตำแหน่ง r เปลี่ยนแปลงพร้อมกับเวลาซึ่งการเคลื่อนที่ของอนุภาคขณะที่เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแกนไอ  และเจ  รักษาค่าคงที่ ถ้าเราทราบเวกเตอร์ตำแหน่ง แล้วความเร็วของอนุภาคสามารถหาได้จากประยุกต์สมการ 4.3 และ 4.6 ซึ่งจะได้เป็นสมการดังข้างล่างนี้

รูปสมการที่ 4.7

      เพราะว่าความเร่ง a ของอนุภาคถูกสมมติให้เป็นค่าคงที่ในการอธิบายนี้ ซึ่งส่วนประกอบของมันคือ a_x และ a_y ก็เป็นค่าคงที่เช่นกัน

      เพราะฉะนั้น เราสามารถจำลองอนุภาค ซึ่งอนุภาคอยู่ภายใต้ความเร่งคงที่เป็นอิสระในแต่ละสองทิศทาง และใช้สมการจลศาสตร์แยกออกไปในแต่ละแนวแกน x และ y ของเวกเตอร์ความเร็ว

จากสมการ 2.13 v_xf = v_xi + a_xt และ v_yf = v_yi + a_yt แทนที่ไปยังสมการที่ 4.7 เพื่อคำนวณความเร็วสุดท้ายที่เวลาใด ๆ เราจะได้

รูปสมการที่ 4.8

ผลที่ได้นี้ ระบุว่าความเร็วของอนุภาคในบางช่วงเวลา t จะเท่ากับผลรวมของเวกเตอร์ในความเร็วเริ่มต้น v_i ของมัน ที่เวลา t = 0 และความเร็วที่เพิ่มขึ้น at  ที่ได้มาในเวลา t ซึ่งเป็นผลของความเร่งคงที่ สมการที่ 4.8 ที่พัฒนามาจากเวกเตอร์ของสมการ 2.13

      ซึ่งคล้ายคลึงกับสมการ 2.16 เราทราบว่าพิกัดเอ็กซ์ และวายของการเคลื่อนที่ของอนุภาคด้วยความเร่งคงที่ คือ

x_f = x_i + v_xit + ½a_xt² 

y_f = y + v_yit + ½a_yt² 

แทนสมการข้างบนเหล่านี้ ไปยังสมการ 4.6 (และเขียนกำกับด้วยว่า เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งสุดท้าย r_f ) ซึ่งเขียนเป็นสมการได้ดังนี้

รูปสมการที่ 4.9

      ซึ่งเป็นเวกเตอร์ที่พัฒนามาจากสมการ 2.16 ในสมการที่ 4.9 จะบอกเราว่าเวกเตอร์ตำแหน่งสุดท้าย r_f ของอนุภาคเป็นผลรวมเวกเตอร์ตำแหน่งเริ่มต้น r_i บวกกับระยะขจัด v_it ที่เริ่มขึ้นจากความเร็วเริ่มต้นของอนุภาค และบวกกับระยะขจัด 1/2at²  ซึ่งเป็นผลจากความเร่งคงที่ของอนุภาค

รูปเวกเตอร์ และส่วนประกอบของ a) ความเร็ว b) ตำแหน่งของอนุภาคที่กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่

แสดงภาพกราฟิกของสมการ 4.8 และ 4.9 แสดงในรูปด้านบน ที่แสดงส่วนประกอบของเวกเตอร์ตำแหน่ง และความเร็ว

ข้อสังเกต จากรูป a เวกเตอร์ความเร็วสุดท้าย v_f มักจะเกิดไม่พร้อมทุกทิศทาง แต่จะเป็นทิศทางใด ทิศทางหนึ่งจะ v_i   หรือ a  เพราะว่าความสัมพันธ์ระหว่าง ปริมาณเหล่านี้คือ การแสดงออกทางเวกเตอร์ที่เกิดจากเหตุผลเดียวกัน

        คล้ายกัน สำหรับรูป b เราเห็นเวกเตอร์ตำแหน่งสุดท้าย r_f โดยทั่วไป ไม่เป็นไปตามทิศทางของ r_i ,v_i หรือ a ที่ท้ายสุดพบว่า v_f  และ r_f โดยทั่วไปไม่ได้อยู่ในทิศทางเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 4.1 การเคลื่อนที่ในระนาบ

อนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่ในระนาบเอ็กซ์วาย เริ่มต้นจากจุดกำเนิดที่ t = 0 มีความเร็วเริ่มต้นไปทางแกนเอ็กซ์ด้วยความเร็ว 20 เมตรต่อวินาที และในแนวแกนวายความเร็วเท่ากับ -15 เมตรต่อวินาที อนุภาคมีความเร่งในทิศทางแกนเอ็กซ์ เท่ากับ a_x = 4.0 m/s²

จงหา     a) คำนวณเวกเตอร์ความเร็วโดยรวมที่เวลาใด ๆ

            b) คำนวณหาความเร็ว และอัตราเร็วของอนุภาคที่ t = 5.0 s และมุมเวกเตอร์ความเร็วที่ทำกับแกนเอ็กซ์

            c) คำนวณหาพิกัดของเอ็กซ์ และวายของอนุภาคที่เวลาใด ๆ และเวกเตอร์ตำแหน่งของมันที่เวลานี้

วิธีทำ

a) คำนวณเวกเตอร์ความเร็วโดยรวมที่เวลาใด ๆ

ส่วนประกอบของความเร็วเริ่มต้น นั่นคือ อนุภาคเริ่มต้นโดยการเคลื่อนที่ไปทางขวา และลงต่ำ จากโจทย์ ส่วนประกอบทางแกนเอ็กซ์มีความเร็ว 20 m/s และเพิ่มขึ้น 4.0 m/s ทุก ๆ วินาที

      ในส่วนประกอบของแกนวายความเร็วไม่เปลี่ยนแปลงจากค่าเริ่มต้นของ -15 m/s เราจะสเกตซ์ ผังการเคลื่อนที่ของสถานการณ์ตามรูปด้านล่าง

รูปตัวอย่างที่ 4.1 ไดอะแกรมการเคลื่อนที่สำหรับอนุภาค

เพราะว่าอนุภาคมีความเร่งในทางแกนบวกเอ็กซ์ +x ในทิศทางที่เพิ่มขึ้นนี้ และมีส่วนโค้งดังแสดงในผังไดอะแกรม

      สังเกตว่าระยะระหว่างภาพที่ต่อเนื่องจะเพิ่มขึ้นเมื่อเวลาเปลี่ยนไป เพราะว่ามันมีอัตราเร็วเพิ่มขึ้นนั่นเอง ตำแหน่งของเวกเตอร์ความเร่ง และความเร็วดูในรูปด้านบน เพื่อจะสามารถมองภาพรวมออก

      ความเร็วเริ่มต้นจะมีองค์ประกอบในทั้งทิศทางแกนเอ็กซ์ และแกนวาย เราจะแบ่งปัญหาที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคไปในการเคลื่อนที่สองมิติ เพราะว่าอนุภาคในส่วนประกอบของแกนเอ็กซ์จะมีความเร่ง เราจึงจำลองมัน ให้อนุภาคอยู่ภายใต้ความเร่งคงที่ในทิศทางแกนเอ็กซ์ และอนุภาคภายใต้ความเร็วคงที่ในทิศทางแกนวาย

            การวิเคราะห์ปัญหา เริ่มต้นจากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ในโจทย์เราได้ v_xi= 20m/s, v_yi = - 15m/s, a_x = 4.0 m/s² a_y = 0    

จะใช้สมการ 4.8 สำหรับเวกเตอร์ความเร็ว

รูปตัวอย่างที่ 4.1 1

สังเกตว่า ส่วนประกอบในแนวแกนเอ็กซ์ มีการเพิ่มความเร็วขึ้นตามเวลา ขณะที่ส่วนประกอบในแกนวายยังคงรักษาค่าคงที่อยู่

b) คำนวณหาความเร็ว และอัตราเร็วของอนุภาคที่ t = 5.0 s และมุมเวกเตอร์ความเร็วที่ทำกับแกนเอ็กซ์

ประเมินผลต่อเนื่องจากสมการในข้อที่แล้ว ที่เวลา t = 5.0 s

รูปตัวอย่างที่ 4.1 2

      มีเครื่องหมายลบสำหรับมุม q แสดงให้เห็นว่า เวกเตอร์ความเร็วได้ทำมุมเท่ากับ 21° ที่มุดลงด้านล่างของแกนบวกเอ็กซ์

สังเกตว่าถ้าการคำนวณความเร็วเริ่มต้น v_i จากส่วนประกอบแกนเอ็กซ์ และวาย ของ v_i เราพบว่า v_f> v_i

c) คำนวณหาพิกัดของเอ็กซ์ และวายของอนุภาคที่เวลาใด ๆ และเวกเตอร์ตำแหน่งของมันที่เวลานี้

ใช้องค์ประกอบของสมการที่ 4.9 ทดแทนกันด้วย x_i = y_i = 0  ที่ t = 0 ซึ่งระยะตำแหน่งทาง เอ็กซ์ และวายมีหน่วยเป็นเมตร และเวลาเป็นหน่วยวินาที

x_f = v_xit + ½a_xt²

= 20t + 2.0t²

y_f = v_yit = -15t 

แสดงเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาคที่เวลาใด ๆ

รูปตัวอย่างที่ 4.1 3

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“ขนาดเวลายังเดินต่อ

แล้วเราจะมัวท้อ อยู่ทำไม”