3.5 เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

      ปริมาณของเวกเตอร์มีอยู่บ่อยครั้ง ที่จะต้องอธิบายในรูปของ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit vector) เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือ เวกเตอร์ที่ไม่มีขนาด หรือไร้มิติ (Dimensionless) มีขนาดเท่ากับ 1 หน่วยของเวกเตอร์

รูปเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

      มีการใช้เพื่อระบุทิศทางที่ให้ และไม่มีความสำคัญทางกายภาพอื่น ๆ พวกมันถูกนำมาใช้เพื่อความสะดวกในการทำการอธิบายทิศทางที่อยู่ในพื้นที่ เราจะใช้สัญลักษณ์ i, j และ k เป็นตัวแทนของเวกเตอร์ที่ชี้ไป 1 หน่วยทางบวก ตามทิศทางของแนวแกน x, y, z ตามลำดับ (จะใช้ตัวหนา หรือในบางครั้งให้เติมหมวก หรือเครื่องหมายด้านบนอักษร ให้เป็นสัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย)

รูปตัวอย่างสัญลักษณ์ที่บอกว่าเป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย รูปแบบ i, j และ k ซึ่งตั้งฉากซึ่งกัน และกัน อยู่ในระบบพิกัดฉากดังแสดงในรูปด้านล่าง

รูปเวกเตอร์หนึ่งหน่วย i, j และ k  ทิศทางไปตามแกน x, y และ z ตามลำดับ  

ขนาดของเวกเตอร์ในแต่ละหน่วยมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ

|i| = |j| = |k| = 1

      พิจารณาเวกเตอร์เอ ที่นอนในระนาบ xy ดังแสดงในรูปด้านล่าง

รูปเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

ผลการโปรดัคซ์ (Product) ของแรงย่อย A_x และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย จะเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ = A_xซึ่งไปตามแนวแกนเอ็กซ์ และจะมีขนาดเท่ากับ |A_x| ในทำนองเดียวกัน = A_yซึ่งไปตามแนวแกนวาย และจะมีขนาดเท่ากับ |A_y|  

เพราะฉะนั้น เวกเตอร์หนึ่งหน่วย จะมีส่วนประกอบของแรงย่อยของเวกเตอร์เอ  ก็คือ

รูปเวกเตอร์หนึ่งหน่วย และสมการ 3.12

สำหรับตัวอย่าง ลองพิจารณาจุดที่อยู่บนระนาบเอ็กซ์วาย และพิกัดเป็นพิกัดคาร์ทีเชียน (x, y) ในรูปด้านล่าง

รูปจุดที่อยู่บนระนาบพิกัดคาร์ทีเชียน

ตำแหน่งของจุด สามารถระบุได้โดย เวกเตอร์ตำแหน่ง (Position vector) ซึ่งในเวกเตอร์หนึ่งหน่วย จะกำหนดรูปแบบได้ดังนี้

รูปเวกเตอร์ตำแหน่ง และสมการที่ 3.13

เครื่องหมาย i และ j นี้บอกว่า เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ตำแหน่ง  คือ อยู่ในพิกัด เอ็กซ์ และวาย

                ทีนี้ ให้เราดูวิธีการใช้ส่วนประกอบแรงย่อยเพื่อการบวกเวกเตอร์ เมื่อวิธีการทางกราฟิกไม่แม่นยำเพียงพอ สมมติว่าเราต้องการบวกเวกเตอร์บี กับ เวกเตอร์เอ  ตามสมการที่ 3.12 ที่ซึ่งเวกเตอร์บี ก็จะมีองค์ประกอบคือ B_x และ B_y

เพราะว่า เพื่อความสะดวกในการมาทำเป็นรูปแบบเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ในการบวกแรงย่อยที่อยู่ในแกน เอ็กซ์ และวาย จะได้เวกเตอร์ลัพธ์ นั่นก็คือ

รูปสมการที่ 3.14

เพราะว่า

รูปสมการเวกเตอร์ลัพธ์

เราเห็นว่าส่วนประกอบย่อย ของเวกเตอร์ลัพธ์ ก็คือ  

   R_x = A_x + B_x                            (3.15)

       R_y = A_y + B_y                                                                  

เพราะฉะนั้น เราเห็นว่าวิธีการแตกแรงของการบวกเวกเตอร์ เราบวกแรงย่อยตามแกนเอ็กซ์ทั้งหมดเพื่อหา ส่วนประกอบของเวกเตอร์ลัพธ์ และจะใช้วิธีการเดียวกัน สำหรับส่วนประกอบแรงย่อยทางแกนวาย เราสามารถตรวจสอบได้ จากส่วนประกอบแรงย่อย จากการเขียนรูปเรขาคณิตได้ดังรูปด้านล่าง

รูปร่างทางเรขาคณิตนี้สำหรับผลรวมของสองเวกเตอร์แสดงความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของเวกเตอร์ลัพธ์ และองค์ประกอบของเวกเตอร์แต่ละตัว

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“หากไม่ได้ไปอยู่ ในจุดที่ลำบาก

คุณก็จะไม่รู้ถึง ศักยภาพของตัวเอง”