3.3.3 เวกเตอร์ลบ

รูปเวกเตอร์ลบ

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

      เวกเตอร์ลบ แน่นอน มันมีทิศทางที่ตรงกันข้ามกับเวกเตอร์บวก ถ้าเวกเตอร์ กับเวกเตอร์ลบมีขนาดเหมือนกัน แต่ทิศทางต่างกัน มาบวกกันก็จะมีค่าเป็นศูนย์ สำหรับการบวกเวกเตอร์ นั่นคือ

รูปเวกเตอร์เอ และลบเอ

รูปการบวกเวกเตอร์ลบ

เวกเตอร์เอ และลบเอ มีขนาดที่เหมือนกันแต่ทิศทางตรงกันข้ามกัน

3.3.4 การลบเวกเตอร์

      การทำการลบเวกเตอร์ คือการทำให้เวกเตอร์มีความหมายเชิงลบ จะมีรูปแบบ เวกเตอร์เอ ลบกับเวกเตอร์บี จะมีค่าเท่ากับ เวกเตอร์เอ บวกกับ เวกเตอร์ลบบี เป็นดังสมการด้านล่าง

รูปสมการที่ 3.7

รูปร่างทางเรขาคณิตสำหรับการลบกันของเวกเตอร์ทั้งสองสามารถดูได้จากรูปด้านล่าง

รูปการลบเวกเตอร์

มีอีกวิธีหนึ่งของการลบเวกเตอร์ คือ การสังเกตความแตกต่างกันของเวกเตอร์เอ ลบ เวกเตอร์บี ระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง เพิ่มเวกเตอร์ที่สองให้คุณในเวกเตอร์แรก ซึ่งมันจะแสดงเป็นเวกเตอร์ลัพธ์ (ในรูปเป็นเวกเตอร์ซี)  ในกรณีนี้ ดูได้ที่รูปด้านล่าง

รูปการลบเวกเตอร์อีกหนึ่งวิธี

แสดงให้เห็นถึงเวกเตอร์เอ ลบ เวกเตอร์บี เท่ากับเวกเตอร์ซี จุดจากปลายศรของเวกเตอร์ที่สองต่อกับหัวของเวกเตอร์แรก

3.3.5 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

รูปตัวอย่างการคูณเวกเตอร์ด้วยปริมาณสเกล่าร์

      ถ้าเวกเตอร์เอคูณกับปริมาณสเกล่าร์ในทีนี้คือเอ็ม ก็คือ   ซึ่งเอ็มก็จะเป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์เอ และมีขนาดเท่ากับ m´A  แต่ถ้าเวกเตอร์เอ คูณกับปริมาณสเกล่าร์ที่มีค่าลบ –m ก็คือ ลบเอ็มคูณกับเวกเตอร์เอ  จะมีทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์เอ

รูปเลขการคูณเวกเตอร์

      ยกตัวอย่างเช่น เวกเตอร์5เอ คือความยาวห้าคูณกับเวกเตอร์เอ และทิศทางจะไปทางเดียวกันกับเวกเตอร์เอ แต่ถ้าเวกเตอร์ลบหนึ่งส่วนสามเอ คือ ความยาวลบหนึ่งส่วนสามของเวกเตอร์เอ และทิศทางจะไปตรงกันข้ามกับเวกเตอร์เอ

ตัวอย่างที่ 3.2   การบิน

เครื่องบินเคลื่อนที่ไป 30 กิโลเมตร ไปทางทิศเหนือ และเคลื่อนที่ไปอีก 20 กิโลเมตร ไปทางตะวันตกเฉียงเหนือทำมุม 45 องศา ให้หาขนาด และทิศทาง ระยะขจัดของเวกเตอร์ลัพธ์

รูปเครื่องบินตัวอย่างที่ 3.2

วิธีทำ

เราจะวาดเวกเตอร์เอ (30km) และเวกเตอร์บี (20km) เพื่อช่วยในการพิจารณาปัญหา

      ต่อไปเราจะแบ่งประเภทของตัวอย่างนี้ ซึ่งสามารถทำการวิเคราะห์ปัญหาได้โดยง่ายในการบวกเวกเตอร์ ระยะขจัด (เวกเตอร์ลัพธ์อาร์) เป็นผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นเมื่อทั้งสองเวกเตอร์เคลื่อนที่ไปแต่ละส่วน เวกเตอร์เอ และเวกเตอร์บี บวกกัน

      เราสามารถทำการแก้ปัญหาจากการวิเคราะห์รูปสามเหลี่ยม ดังนั้นเราจะใช้ประสบการในการแก้ปัญหาในทางเรขาคณิต และตรีโกณมิติ

      ในตัวอย่างนี้ เราแสดงให้เห็นสองแนวทางในการวิเคราะห์ปัญหาที่จะหาแรงลัพธ์ของสองเวกเตอร์

การวิเคราะห์วิธีแรกก็คือ การวิเคราะห์ในทางตรีโกณมิติ โดยการใช้กระดาษกราฟ และไม้โปรเทคเตอร์เพื่อวัดขนาดของแรงลัพธ์ และทิศทางของมันดังรูป 3.11a

รูปตัวอย่าง 3.2 วัดเวกเตอร์ด้วยไม้บรรทัด

รูปไม้บรรทัด และอุปกรณ์วัดมุม

      ในความเป็นจริง แม้คุณจะรู้ว่า คุณจะต้องทำการคำนวณอยู่แล้ว แต่ก็ควรที่จะเขียนรูปไว้ด้วยดีกว่าเพื่อสามารถทำการพิสูจน์ว่าเป็นจริง หรือไม่ เมื่อเทียบกับการคำนวณ ควรมีไม้บรรทัด และไม้โปรเทคเตอร์ในการวัดมุม แผนภาพขนาดใหญ่ที่ให้คำตอบตัวเลขสองหลัก แต่ควรที่จะเป็นเลขสามหลักดีกว่าเพื่อความแม่นยำ พยายามที่จะใช้เครื่องมือในการหาเวกเตอร์ลัพธ์

      วิธีที่สอง คือการแก้ปัญหาในทางพีชคณิต ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์สามารถหาได้จากการใช้กฎของโคไซน์ (Law of cosines) ประยุกต์กับรูปสามเหลี่ยมตรีโกณมิติในรูปด้านล่าง

รูปตัวอย่างที่ 3.2 เวกเตอร์จากการคำนวณ

ใช้สมการตรีโกณมิติ 

รูปวิธีทำ

ใช้กฎของไซน์ (Law of sines) เพื่อหาทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ วัดจากทิศเหนือ

รูปวิธีทำ

ระยะขจัดลัพธ์ของรถยนต์คือ 46.4 กิโลเมตร ในทิศทาง 17.476° ทางทิศตะวันตกเฉียงเหนือ                  ตอบ

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“คนเรา ควรมีอดีตอยู่ข้างหลัง
และมีความหวัง อยู่ข้างหน้า”