3.3 คุณสมบัติบางอย่างของเวกเตอร์

         ในหัวข้อนี้ เราจะตรวจสอบคุณสมบัติทั่วไปของเวกเตอร์ที่แสดงออกมาในรูปแบบปริมาณทางฟิสิกส์ นอกจากนี้เราจะทำการ บวก และลบเวกเตอร์โดยใช้วิชาพีชคณิต และวิธีการเรขาคณิต

3.3.1 ความเท่ากันของสองเวกเตอร์

รูปตัวอักษรเวกเตอร์

(เขียนแบบนี้เพื่อให้เข้าใจว่า ถ้ากล่าวถึงเวกเตอร์เอ บี หรืออะไรก็ตาม จะเป็นรูปแบบตามข้างบน เพราะเขียนแล้วลงเว็บแล้วรูปแบบไม่ขึ้นตามที่ต้องการ)

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

      เพื่อวัตถุประสงค์หลากหลาย เวกเตอร์เอ และเวกเตอร์บี อาจจะมีค่าเท่ากันได้ ถ้าพวกมันมีขนาดเดียวกัน และถ้าพวกมันชี้ไปในทิศทางเดียวกัน นั้นจะกล่าวได้ว่า เวกเตอร์เอ = เวกเตอร์บี เพียงถ้า A = B และถ้า เวกเตอร์เอ และเวกเตอร์บี ชี้ไปในทิศทางที่เหมือนกัน และแนวเส้นขนานกัน

รูปเวกเตอร์ที่มีขนาด และทิศทางเดียวกัน

      ยกตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ทั้งหมดในรูปด้านบน จะเท่ากันถึงแม้ว่าจุดเริ่มต้นจะแตกต่างกัน คุณสมบัตินี้ทำให้เราเคลื่อนที่เวกเตอร์จากตำแหน่งหนึ่งเคลื่อนที่ไปตามแนวขนานกันตามแผนภาพโดยไม่มีผลกับเวกเตอร์

3.3.2 การบวกเวกเตอร์

        กฎของการบวกเวกเตอร์ สามารถอธิบายให้เห็นด้วยวิธีกราฟิก การบวกเวกเตอร์บี กับเวกเตอร์เอ โดยการวาดเวกเตอร์เอลงบนกราฟกระดาษกราฟ พร้อมกับขนาดของมันตามสเกลขนาดยาว และวาดเวกเตอร์บีที่ที่หัวลูกศรของเวกเตอร์เอจะเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์บี แสดงให้เห็นในรูปด้านล่าง

รูปการบวกเวกเตอร์

รูปเวกเตอร์ลัพธ์

   เวกเตอร์ลัพธ์ (Resultant) เวกเตอร์ลัพธ์ = เวกเตอร์เอ + เวกเตอร์บี คือเวกเตอร์ที่ลากจากหางของเวกเตอร์เอ ไปจรดที่ปลายลูกศรของเวกเตอร์บี

รูปเวกเตอร์ลัพธ์

      รูปร่างทางเรขาคณิตสามารถใช้เพื่อบวกกันได้มากกว่าสองเวกเตอร์ดังแสดงในรูปด้านล่าง

รูปเมื่อเวกเตอร์มีมากกว่า สองเวกเตอร์ก็บวกกันได้เพื่อหาเวกเตอร์ลัพธ์

สำหรับกรณีมีมากกว่าสองเวกเตอร์ เวกเตอร์ลัพธ์ก็จะเป็นดังนี้

รูปการบวกกันมากกว่าสองเวกเตอร์

                เมื่อลากเวกเตอร์เสร็จแล้วก็จะเห็นเป็นรูปหลากหลายเหลี่ยม กล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์ลัพธ์เป็นเวกเตอร์ที่ลากจากหางของเวกเตอร์แรกไปจรดถึงปลายหัวลูกศรของเวกเตอร์สุดท้าย เทคนิคนี้ของการบวกเวกเตอร์ซึ่งมีอยู่บ่อยครั้ง เราจะเรียกว่า วิธีการหัวต่อหาง (Head to tail method)

รูปตัวอย่างวิธีการหัวต่อหาง

                เมื่อสองเวกเตอร์บวกกัน การรวมกันจะเป็นอิสระตามลำดับที่เพิ่มขึ้น (ความจริงอาจจะดูเป็นเรื่องเล็กน้อย แต่คุณจะเห็นความสำคัญได้ในบทที่ 11 เรื่องเกี่ยวกับลำดับความสำคัญเมื่อเวกเตอร์ถูกคูณกัน ซึ่งวิธีการคูณเวกเตอร์จะกล่าวละเอียดในบทที่ 7 และบทที่ 11) คุณสมบัตินี้ สามารถเห็นได้จากรูปร่างทางเรขาคณิตในรูปด้านล่าง

รูปร่างนี้เวกเตอร์เอ + เวกเตอร์บี = เวกเตอร์บี + เวกเตอร์เอ หรือเรียกอีกอย่างว่า เวกเตอร์การสลับที่

ที่เรียกว่า กฎการบวกสลับที่ (Commutative law of addition)

รูปสมการที่ 3.5

      เมื่อมีการบวกกันมากกว่าสองเวกเตอร์ ผลรวมก็เป็นอิสระตามแนวทาง ในแต่ละเวกเตอร์ที่จับกลุ่มกัน การพิสูจน์ทางเรขาคณิตของกฎนี้สำหรับสามเวกเตอร์ดูได้ในรูปด้านล่าง

รูปทางเรขาคณิต ของกฎการบวกเชื่อมโยง

คุณสมบัตินี้เรียกว่า กฎการบวกเชื่อมโยง (Associative law of addition)

รูปสมการที่ 3.6

      ในการสรุป ปริมาณเวกเตอร์จะมีทั้งขนาด และทิศทาง อีกทั้งยังสามารถเกิดกฎของการบวกเวกเตอร์อีกด้วย ซึ่งอธิบายไว้ข้างบน

      แล้วเมื่อเวกเตอร์ที่มากกว่าสองมาบวกกัน พวกมันทั้งหมดจำเป็นต้องมีหน่วยที่เหมือนกัน และทั้งหมดต้องมีประเภทของปริมาณที่เหมือนกันด้วยถึงจะบวกกันได้

      ในเรื่องของเวกเตอร์ เวลามันไม่ค่อยมีความหมายเท่าไหร่นัก ที่จะเอาเวลาเข้ามาเกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ จนกลายเป็นความเร็ว ยกตัวอย่างเช่น รถยนต์วิ่ง 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมงไปทางทิศตะวันออก

      แต่ในเรื่องของเวกเตอร์จะกล่าวเพียงอนุภาคที่วิ่งไปตามแนวเส้นทิศทางเท่านั้น ยกตัวอย่างเช่น 200 กิโลเมตร ไปทางทิศเหนือ

      เพราะว่า เวกเตอร์เหล่านี้จะแสดงให้เห็นถึงความแตกต่างกันของปริมาณทางฟิสิกส์ ซึ่งเป็นกฎเดียวกันกับการใช้งานของปริมาณสเกล่าร์ มันจึงไม่ค่อยความหมายที่จะนำเรื่องเวลา หรืออุณหภูมิเพิ่มเข้าไปในเวกเตอร์ ซึ่งเมื่อเอาเรื่องเวลา หรืออุณหภูมิเข้าไปอธิบาย มันจะกลายไปเป็นการเรียนรู้เรื่องอื่นแทน เช่น การเรียนรู้ในเรื่องพลศาสตร์, อุณหพลศาสตร์, อุทกศาสตร์ ฯลฯ ซึ่งจะได้กล่าวถึงในโอกาสต่อไป

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

 “คนมีปัญญา มักมองเห็นโอกาส ในทุก ๆปัญหา

คนขาดปัญญา มักมองเห็นปัญหา ในทุก ๆโอกาส”