บทที่ 3 เวกเตอร์

      ในการศึกษาฟิสิกส์ มีอยู่บ่อยครั้งเราจำเป็นที่จะต้องรู้งานที่เกิดขึ้น อยู่ในรูปแบบปริมาณทางฟิสิกส์ นั่นคือ งานที่ต้องการรู้จะมีคุณสมบัติทั้งขนาด และทิศทาง ซึ่งเป็นปริมาณที่เกิดตามธรรมชาติ นั่นก็คือ ปริมาณของเวกเตอร์ (Vector quantities)

รูปปริมาณเวกเตอร์ของอนุภาค มีทั้งขนาด และทิศทาง

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

รูปการเตะลูกบอลของนักฟุตบอล เป็นปริมาณทางเวกเตอร์เพราะมันจะมีขนาดของแรง และทิศทางที่จะไป

      บทนี้ เราจะกล่าวถึงความสัมพันธ์กัน พร้อมกับกล่าวถึงคุณสมบัติทั่วไปในรูปแบบปริมาณเวกเตอร์ เราจะอธิบายถึงการบวก และลบปริมาณเวกเตอร์ ที่สามารถพบเห็น และใช้งานที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน ที่เป็นสถานการณ์ทางฟิสิกส์ (ทุกอย่างจะต้องมีฟิสิกส์ หรือทางกายภาพเข้ามาเกี่ยวข้องทั้งนั้น)

3.1 ระบบพิกัด

                มีมุมมองมากมายที่มีความเกี่ยวพันกันในทางฟิสิกส์ ที่สามารถอธิบายลักษณะของตำแหน่งในพื้นที่ว่าง สามารถย้อนกลับไปดูได้ในบทที่ 2 แสดงให้ดูเป็นตัวอย่างเบื้องต้น เราจะเห็นการอธิบาย ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ที่จำเป็นเพื่อใช้ในการพิจารณาตำแหน่งของวัตถุ ณ ช่วงเวลาใด ๆ  ในระนาบ 2 มิติ

      การพิจารณาเหล่านี้ จะถูกอธิบายในรูปแบบของตำแหน่ง ที่ถูกกำหนดเป็นพิกัด ที่เรียกว่า ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (Cartesian coordinates) จะมีแกนเส้นตรงสมมติสองแกนตัดกัน แล้วตั้งฉากซึ่งกันและกัน และจุดที่ตัดก็คือ จุดกำเนิด (Origin) ดูที่รูป

รูปแบบพิกัดคาทีเซียน

รูปพิกัดคาทีเซียน

พิกัดคาร์ทีเซียนเราสามารถเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า พิกัดรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (Rectangular coordinates)

                แต่บางครั้งสามารถทำให้ดูสะดวกมากขึ้น เมื่อแทนจุดในระนาบพิกัดอีกรูปแบบหนึ่ง นั่นก็คือการใช้ ระนาบพิกัดเชิงขั้ว (Plans polar coordinates: r, q) มาอธิบายแทน ดังแสดงในรูป

รูปแบบพิกัดเชิงขั้ว

รูปพิกัดเชิงขั้วในรูปอย่างง่าย

      ในระบบระนาบพิกัดเชิงขั้วนี้ r คือระยะทางจากจุดกำเนิด ไปจนถึงจุดที่มีพิกัดคาร์ทีเชียน (x, y) อยู่ และมุม q เป็นมุมที่ถูกวัดระหว่างแกนหลัก กับเส้นที่ลากจากจุดกำเนิดไปจนถึงจุดปลาย ในแกนหลักนั้น ปกติที่มีการใช้บ่อย ๆ ก็คือแกนบวกเอ็กซ์ และมุมที่วัดนั้นก็ปกติจะเริ่มวัดจากแกนบวกเอ็กซ์ขึ้นมาเหมือนกัน ดูรูปด้านล่าง

รูประนาบพิกัดเชิงขั้ว

จากสามเหลี่ยมมุมฉากในรูปด้านบน เราสามารถหาค่ามุม q ตามทฤษฏีตรีโกณมิติ ได้ดังนี้ 

sin q = y/r

cos q = x/r

ดังนั้นแล้ว เมื่อมีการเริ่มต้นตำแหน่งด้วยระนาบพิกัดเชิงขั้ว ที่จุดใด ๆ ก็ตาม เราสามารถคำนวณหาตำแหน่งนั้น ๆ ให้เป็นพิกัดคาร์ทีเชียนได้ โดยการใช้สมการดังข้างล่างนี้

x = r cos q                                 (3.1)

y = r sin q                                  (3.2)

      นอกจากนี้ หากเราทราบพิกัดคาร์ทีเชียนแล้ว เราก็ยังที่จะสามารถใช้ความรู้ทางตรีโกณมิติเพื่อที่จะหามุมได้จากสมการด้านล่างนี้

            tan q = y/x                                 (3.3)

            r = Ö(x² + y²)                             (3.4)

ซึ่งสมการที่ 3.4 นั่นคือ ทฤษฏีพิธากอรัส (Pythagorean theorem) อันคุ้นเคย

รูปทฤษฏีพิธากอรัส

                ทั้งสี่สมการข้างต้นเหล่านี้ แสดงให้เห็นถึงเรื่องที่สัมพันธ์ และเกี่ยวข้องกันของระบบพิกัดคาร์ทีเชียน (x, y) เชื่อมโยงไปถึงพิกัดเชิงขั้ว (r, q) ซึ่งสามารถนำไปใช้ในการคิดคำนวณกลับไปกลับมาได้

      เมื่อ q เป็นมุมจากการวัดทวนเข็มนาฬิกาจากตำแหน่งแกน x (เครื่องคิดเลขที่เป็นวิทยาศาสตร์จะทำการแปลงไปมาระหว่าง พิกัดคาทีเซียน และเชิงขั้ว) แต่ถ้าเปลี่ยนแปลงเพื่ออ้างอิงกับแกนอื่นก็สามารถอ้างอิงได้ โดยการหาค่ามุม q ในพิกัดเชิงขั้วของแกนนั้น ๆ ได้

ตัวอย่างที่ 3.1  พิกัดเชิงขั้ว

      พิกัดคาทีเชียนของจุดในระนาบ xy ก็คือ (x,y) = (-3.5, -2.5) m ดังแสดงในรูปด้านล่าง จงแสดงให้เห็น อยู่ในรูปของพิกัดเชิงขั้ว

รูปตัวอย่าง 3.1

วิธีทำ

เราสามารถทำการพล็อตกราฟ กำหนดรูปพิกัดคาทีเชียนได้เหมือนดังรูปด้านบน เพื่อใช้ในการแก้ปัญหาข้อนี้ เราจะทำการแปลงพิกัดคาทีเชียน ไปเป็นพิกัดเชิงขั้วโดยการทดแทนค่าจากพิกัดหนึ่ง ไปอีกพิกัดหนึ่ง

      ซึ่งปัญหาที่พบทั่วไปจะไม่ได้มีการวิเคราะห์คำนวณอย่างละเอียด มักจะมีค่าตัวเลขมาให้เห็นเลย และก็แทนที่ค่าตัวเลขลงไปในสมการ แต่ในบางปัญหามีความจำเป็นที่จะต้องพิสูจน์สมการ และหาเหตุผลในคำตอบที่ได้

      นอกเสียจาก การแทนที่ของตัวเลขลงไปในสมการที่กำหนดให้ ในทำนองเดียวกัน เมื่อคำนวณเสร็จก็จะต้องมีการพิสูจน์ตรวจสอบ จะทำให้แน่ใจในคำตอบที่มีเหตุมีผล  

เพราะฉะนั้น ปัญหาการแทนที่ จะไม่จำเป็นที่จะทำการวิเคราะห์ ในขั้นตอนสุดท้าย

ใช้สมการ 3.4 เพื่อหาค่า r

r = Ö(x² + y²)

= Ö((-3.50 m)² + (-2.50 m)²)

= 4.30 m

ใช้สมการ 3.3 เพื่อหาค่า q

tan q = y/x

= (-2.50 m)/(-3.50 m)

= 0.714

q = 216°                              ตอบ

ข้อสังเกต ทำไมต้องใส่เครื่องหมายลบที่ x และ y  นั่นก็เพราะจะได้ทราบจุดตำแหน่งของระบบพิกัดได้นั่นเอง

นั่นคือ q = 216° (นับทวนเข็มนาฬิกา) ซึ่งไม่ใช่ 35.5°  (นับตามเข็มนาฬิกา) ที่ซึ่ง ค่าแทนเจนท์ มันเป็น 0.714 เช่นกัน

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“ปัญหาชีวิตที่พบเจอ

เมื่อแพ้ จะเป็นถ่าน

แต่ถ้าผ่าน จะกลายเป็นเพชร”