สมการจลศาสตร์

      ตอนนี้เราสามารถกำหนดสมการสำหรับความเร่ง และความเร็วที่ได้รับมาทั้งสองสมการ คือ สมการ 2.13 และ 2.16

สมการที่กำหนดสำหรับความเร่ง สมการ 2.10

a = dv/dt

สามารถย้ายข้างสมการเขียนใหม่ได้ดังนี้

dv = a.dt

หรือในเทอมของการอินทิเกรต เขียนได้ดังนี้

รูปสมการอินทีเกรต

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

สำหรับในกรณีพิเศษที่ซึ่งมีความเร่งคงที่ ความเร่ง a (สมการอินทีเกรต บอกว่า ค่าคงที่ (c) = 0 ซึ่งมาจาก dc/dx = 0) นั้นสามารถลบหายไปจากการอินทีเกรตได้ดังนี้

รูปสมการที่ 2.20

ซึ่งเป็นสมการ 2.13

ทีนี้ให้เราพิจารณากำหนดสมการสำหรับความเร็ว สมการ 2.5

v = dx/dt

เราสามารถย้ายข้าง และเขียนสมการนี้ใหม่เพื่อเข้าสู่การอินทิเกรต ดังนี้

dx = v.dt

หรือในรูปแบบการอินทิเกรต ได้ดังนี้

รูปสมการอินทีเกรต

เพราะว่า v = v_x = v_i + at ดังนั้นจะกลายเป็นดังสมการด้านล่าง

รูปสมการอินทีเกรต

แก้สมการอินทีเกรตตามสูตร รูปสูตรการอินทีเกรต

= v_i (t – 0) + a ((t²/2) – 0)

ดังนั้น

x_f – x_i = v_it + ½at²

ซึ่งเป็นตัวอย่างในการพิสูจน์สมการที่ 2.16

บทสรุปของการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ

·       เมื่ออนุภาคเคลื่อนที่ตามแนวแกนเอ็กซ์จากตำแหน่ง หรือระยะเริ่มต้น (x_i) ไปสู่ตำแหน่งสุดท้าย (x_f) มันก็คือ ระยะขจัด (Displacement) (Dx)

Dx  º x_f – x_i                       (2.1)

·       ความเร็วเฉลี่ย (Avearage velocity: v_{x, avg}) ค่าความเร็วเฉลี่ยก็คือ ระยะขจัดของอนุภาคหารด้วยระยะเวลา

   v_{x, avg} º Dx/Dt                  (2.2)

·       อัตราเร็วเฉลี่ย (Average speed: v_avg) ของอนุภาค ก็คือ ระยะทางโดยรวมในการเคลื่อนที่ (Total distance: d) หารด้วยเวลารวมที่ใช้ในการเคลื่อนที่

v_avg º d/Dt                            (2.3)

·       ความเร็วชั่วขณะ (Instantaneous velocity) ของอนุภาคกำหนดให้เป็นขอบเขตจำกัดของอัตราส่วน Dx/Dt ซึ่ง Dt เข้าใกล้ศูนย์ ตามคำนิยาม ขอบเขตลิมิตนี้จะเท่ากับค่าอนุพันธ์ของ x เทียบกับ t  หรืออัตราของเวลาของการเปลี่ยนไปของตำแหน่ง

v_int  º lim_Dt®0 Dx/Dt = dx/dt                    (2.5)

      ส่วนอัตราเร็วชั่วขณะ ของอนุภาค มีค่าเท่ากับเพียงขนาดของความเร็วชั่วขณะ แต่ไม่ได้กล่าวถึง      ทิศทาง

·       อนุภาคเคลื่อนที่ภายใต้ความเร็วคงที่ ถ้าอนุภาคเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงและรักษาความเร็วให้คงที่

v_x = Dx / Dt                       (2.6)

·       ตำแหน่ง หรือระยะทางของมันก็คือ

x_f = x_i + v_x t    (v_x = ค่าคงที่)               (2.7)

·       อนุภาคภายใต้อัตราเร็วคงที่ ถ้าอนุภาคเคลื่อนที่มีระยะทาง d ตามส่วนของเส้นโค้ง หรือตรงด้วยอัตราเร็วคงที่ อัตราเร็วคงที่ของมันก็คือ

v = d / Dt                    (2.8)

·        ความเร่งเฉลี่ย (Average acceleration) ของอนุภาค หมายถึงอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงในความเร็วของมัน หารด้วยเวลา ในระหว่างที่มีการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้น

      a_avg =  Dv/Dt = (v_f – v_i)/ (t_f – t_i)                 (2.9)

·       ความเร่งชั่วขณะ (Instantaneous acceleration) มีค่าเท่ากับ ลิมิตของอัตราส่วน Dv/Dt ซึ่ง Dt เข้าใกล้ศูนย์ ตามคำนิยาม ขอบเขตลิมิตนี้จะเท่ากับค่าอนุพันธ์ของ v เทียบกับ t  หรืออัตราของเวลาของการเปลี่ยนไปของความเร็ว 

รูปสมการ 2.10

·       อนุภาคภายใต้ความเร่งคงที่ ถ้าอนุภาคมีการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงด้วยความเร่งคงที่ a การเคลื่อนที่ของมันก็จะถูกพิจารณาโดยสมการทางจลศาสตร์ ซึ่งมีสมการดังนี้

v_f = v_i + at (สำหรับความเร่งที่เป็นค่าคงที่) (2.13)

v_x,avg = (v_xi + v_xf)/2   (สำหรับความเร่งคงที่)    (2.14)

x_f = x_i  + ½(v_i + v_f)t       (2.15)

x_f = x_i  + v_it+ ½at²   (ความเร่งคงที่)          (2.16)

v_f² = v_i² + 2a(x_f – x_i) (ความเร่งคงที่)     (2.17)

จบบทที่ 2 ครั้งหน้าพบกับ บทที่ 3 เวกเตอร์

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“เมื่อมี จงรู้จักให้ 

เมื่อได้ จงรู้จักพอ 

เมื่อขอ จงรู้คุณค่า 

คนเราเกิดมา ถึงเวลา........ก็ ต้องจากไป”