2.8 สมการจลศาสตร์ในรูปแบบแคลคูลัส

      ในหัวข้อนี้จะใช้วิชาแคลคูลัสเข้ามาแก้ปัญหาในทางเทคนิค ผู้อ่านควรจะมีพื้นฐานด้านแคลคูลัสพอสมควร แต่ถ้ายังไม่มีและอยากเรียนรู้ ผู้เขียนจะพยายามอ้างอิงสมการเอาไว้ให้มาก และอธิบายเท่าที่จะทำได้ และขอให้ไปทำการศึกษาเรื่องแคลคูลัสอย่างลึกซึ้งในภายหลัง

                ความเร็วของอนุภาคที่เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง สามารถคำนวณได้ ถ้าตำแหน่งของมันอ้างเป็นหน้าที่ หรือฟังชันก์ของเวลา ในทางคณิตศาสตร์ ความเร็วจะเท่ากับ การอนุพันธ์ (Derivative) ของตำแหน่งที่เกี่ยวข้องกับเวลา

รูปค่าอนุพันธ์เทียบกับเวลาที่นำมาใช้ในจลศาสตร์

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

      นอกจากนี้ มีความเป็นไปได้เช่นกันที่การหาตำแหน่งขออนุภาค ถ้ารู้ความเร็วของมันเป็นฟังชันก์ของเวลา ในวิชาแคลคูลัส ขั้นตอนที่ใช้ในการดำเนินการนี้ ก็คือ การอ้างถึงการบูรณาการ หรือการหาปฏิยานุพันธ์ (Antiderivative) หรือเรียกง่าย ๆ ว่าการอินทีเกรต (Integration) สร้างภาพกราฟิก มันจะเทียบเท่ากับการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งของกราฟ

                สมมติว่า กราฟความเร็ว – เวลา สำหรับการเคลื่อนที่ของอนุภาคไปตามแนวแกน เอ็กซ์ (x) ซึ่งแสดงในรูปด้านล่าง

กราฟที่ 2.1 ความเร็วกับเวลาสำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่ไปตามแนวแกนเอ็กซ์ พื้นที่โดยรวมภายใต้เส้นโค้งคือการขจัดโดยรวมของอนุภาค

ปล่อยให้หารด้วยช่วงเวลา t_f - t_i ไปยังช่วงเวลาที่มีช่วงขนาดเล็กจำนวนมาก ในแต่ละช่วงเวลา (Dt_n)

      จากนิยามของความเร็วเฉลี่ย เราเห็นการขจัดของอนุภาคระหว่างช่วงเวลาขนาดเล็กใด ๆ เช่นเดียวกับส่วนที่แรเงาในรูป

กราฟที่ 2.2 ส่วนที่แรเงาเป็นช่วงเวลาระหว่างอนุภาคเล็ก ๆ รวมกัน

คือการให้โดย Dx_n = v_n,avg Dt_n กำหนดให้  v_n,avg = ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา

      เพราะฉะนั้น การเคลื่อนที่ในระหว่างช่วงเวลาเล็ก ๆ นี้แสดงออกมาเป็นเพียงพื้นสีแรเงาในรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ในกราฟด้านบน การขจัดโดยรวมสำหรับช่วงเวลา t_f - t_i ก็คือ ผลบวกของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดจาก t_i ถึง t_f

Dx = S_n v_{n agv}Dt_n

กำหนดให้ สัญลักษณ์ S (เป็นอักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่ อ่านว่า ซิกม่า) ซึ่งหมายถึง ค่าผลรวมของทั้งหมด นั่นคือจำนวนที่จะรวมเท่าไหร่จะดูที่ตัวอักษร n ขณะนี้เวลาถูกแบ่งเป็นช่วงที่มีขนาดเล็ก และเล็กไปเรื่อย ๆ

      จำนวนของเทอมในการเพิ่มขึ้นของผลรวม และผลรวมที่ได้นั้น ก็เข้าสู่ค่าที่เท่ากับพื้นที่ใต้กราฟในกราฟความเร็ว-เวลา เพราะฉะนั้น ในขอบเขตลิมิตจำนวนเอ็น เข้าไปสู่ค่าอนันต์  limit n ® ¥  หรือเวลาจะเข้าใกล้ศูนย์  Dt_n® 0 สมการของการขจัด ก็คือ

รูปสมการ 2.18

สังเกตว่า เรามีการแทนที่ค่าความเร็วเฉลี่ย (v_{n agv}) กับความเร็วชั่วขณะ (v_n) ในผลรวมเนื่องจากขั้นตอนของความเร็วเฉลี่ย เข้าไปสู่ฟังชันก์ต่อเนื่อง (Continuous function) ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่หดลดลงเข้าสู่ศูนย์ การประมาณการนี้มีความถูกต้องในการคิดแบบลิมิตของช่วงที่มีขนาดเล็กมาก เพราะฉะนั้น ถ้าเราทราบกราฟความเร็ว – เวลา สำหรับการเคลื่อนที่ตลอดแนวเส้นตรง เราสามารถหาค่าขจัดในช่วงระหว่างเวลาได้โดยการวัดพื้นที่ใต้กราฟที่สอดคล้องกับเวลา

      ผลรวมของลิมิตที่แสดงในสมการ 2.18 เรียกว่า อินทีเกรตจำกัดเขต (Definite integral) และสามารถเขียนเป็นสมการได้ดังนี้

รูปสมการ 2.19

กำหนดให้ v(t) หมายถึงความเร็วที่เวลาใด ๆ ก็ได้ หากรูปแบบการทำงานอย่างชัดเจนของ v(t) ทราบ และขอบเขตลิมิตที่ให้ การอินทีเกรตสามารถทำการประเมินค่าได้ บางครั้งกราฟความเร็ว – เวลา สำหรับการเคลื่อนที่ของอนุภาคมีรูปร่างที่ง่าย ยกตัวอย่างเช่น สมมติว่าอนุภาคเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ในกรณีนี้กราฟความเร็ว – เวลา เป็นเส้นแนวนอนดูในกราฟด้านล่าง

กราฟที่ 2.3 ความเร็ว – เวลา ในการเคลื่อนที่ของอนุภาค ที่มีความเร็วคงที่ ระยะขจัดของอนุภาคในช่วงเวลามีค่าเท่ากับพื้นที่แรเงาสี่เหลี่ยม

และระยะขจัดของอนุภาคระหว่างช่วงเวลาคือ พื้นที่ที่แรเงาสี่เหลี่ยมที่อยู่ใต้เส้นตรงของกราฟ

                  Dx = v_i Dt           (เมื่อ v_i = ค่าคงที่)

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“คนเราจะไม่ต้องใช้สมองเลย ถ้าพูดแต่ความจริง”