ตัวอย่างที่ 2.8 รถยนต์คันหนึ่งวิ่งด้วยความเร็วคงที่ 70 m/s แล้วมีตำรวจทางหลวงดักรออยู่หลังเสาไฟ ทันทีที่รถยนต์วิ่งผ่านเสาไฟที่ตำรวจอยู่ และถูกตำรวจทางหลวงจับความเร็วรถยนต์ขับตามรถยนต์คันนั้น ด้วยความเร่งที่อัตราคงที่ 5 m/s² จะต้องใช้เวลาเท่าไหร่ที่ตำรวจจะขับทันรถยนต์คันนั้น

รูปตำรวจทางหลวง

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

รูปตัวอย่างที่ 2.8

วิธีทำ 

จากรูปที่แสดง แจงลำดับเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้น การจำลองอนุภาคของรถภายใต้ความเร็วคงที่ รถและตำรวจทางหลวงถูกสมมติให้เป็นแบบจำลองอนุภาคด้วยเช่นกันภายใต้ความเร่งคงที่

      อันดับแรก เราจะเขียนอธิบายถึงตำแหน่งของรถยนต์แต่ละคัน เป็นฟังชันก์ของเวลา เพื่อความสะดวกจะเลือกตำแหน่งของเสาไฟเป็นจุดเริ่มต้น และเพื่อกำหนดเวลาให้เท่ากับศูนย์ ซึ่งก็เป็นเวลาที่ตำรวจทางหลวงเริ่มที่จะเคลื่อนที่ ทันทีที่ รถได้เดินทางระยะ 70 เมตร จากเสาไฟ เพราะว่าการเคลื่อนที่ของรถมีความเร็วคงที่ก็คือ v = 70 m/s ใน 1 s

      เพราะฉะนั้น ตำแหน่งเริ่มต้นของความเร็วรถจะมีค่าเท่ากับ x = 70 m

ใช้อนุภาคภายใต้รูปแบบจำลองความเร็วคงที่ จะใช้สมการ 2.7 เพื่อหาตำแหน่งของรถยนต์ในเวลาใด ๆ 

x_รถ = x_b + v_รถt

การตรวจสอบอย่างเร็วของตำรวจแสดงที่เวลา t = 0 การอธิบายอย่างนี้จะให้ตำแหน่งเริ่มต้นของรถ และตำรวจเริ่มที่จะขี่รถออกมา

x_รถ = x_b = 70 m

 รถตำรวจเริ่มเคลื่อนที่ t = 0 และความเร่งที่ a = 5 m/s² จากจุดเริ่มต้น จะใช้สมการ 2.16 เพื่อหาตำแหน่งของตำรวจในเวลาใด ๆ

x_f = x_i  + v_it+ ½at²

x_{ตำรวจ} = 0 + (0)t+ ½at² 

= ½at² 

ระบุตำแหน่งของรถ และตำรวจให้มีค่าเท่ากันเพื่อแสดงให้เห็นว่าตำรวจกำลังจะแซงรถที่ตำแหน่ง c

x_{ตำรวจ} = x_รถ

½at² = x_b + v_รถt

ทำการจัดเรียงสมการเสียใหม่ให้เป็นสมการยกกำลังสอง (Quadratic equation)

½at² – v_รถt – x_b = 0

เราจะมาแก้สมการยกกำลังสองกันสำหรับเวลาที่ตำรวจทางหลวงจะเข้าไปถึงตัวรถ จะใช้สมการด้านล่างนี้ (การแก้สมการกำลังสองหาอ่านได้ในหนังสือคณิตศาสตร์ทั่วไป ถ้าจำไม่ได้ก็ขอให้จำสมการนี้ก่อน มีโอกาสจะได้เขียนหนังสือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ให้อ่านนะ)

รูปแบบสมการเพื่อแก้สมการยกกำลังสองในหนังสือคณิตศาสตร์ทั่วไป

เมื่อนำมาใช้กับตัวอย่างนี้ รูปแบบของสมการก็คือ

วิธีทำของตัวอย่างที่ 2.8

ดังนั้น รถของตำรวจจะต้องใช้เวลา 28.966 วินาที ในการที่ตำรวจจะขับทันรถยนต์คันนั้น

      มีคำถามว่าทำไมเราไม่เลือก t = 0 ซึ่งเป็นเวลาที่รถตำรวจวิ่งผ่าน ถ้าเราทำเช่นนั้น เราไม่สามารถใช้อนุภาคภายใต้แบบจำลองความเร่งคงที่ในรถตำรวจทางหลวง ความเร่งของตำรวจจะเป็นศูนย์ในวินาทีแรก และ 5 m/s² สำหรับเวลาที่เหลือ โดยการกำหนดเวลา t = 0 เมื่อตำรวจเริ่มต้นเคลื่อนที่ เราสามารถใช้อนุภาคแบบจำลองภายใต้ความเร่งคงที่สำหรับการเคลื่อนไหวของตำรวจสำหรับเวลาทั้งหมดที่เป็นบวก

ลองสมมติเล่น ๆ จะเกิดอะไรขึ้นถ้า ตำรวจมีรถจักรยานยนต์ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น สามารถสร้างความเร่งที่มากขึ้น วิธีการนี้จะทำให้เวลาเมื่อขี่ไปถึงรถที่จะจับใช้เวลาน้อย ลงหรือไม่?

คำตอบ ถ้ารถจักรยานยนต์มีความเร่งมากขึ้น ตำรวจควรจะจับรถนั้นได้ในไม่ช้า ดังนั้นคำตอบสำหรับเวลาควรจะได้น้อยกว่า 28.966 วินาที เพราะว่าเทอมทั้งหมดในด้านขวาของสมการ จะมีความเร่งในตัวหารมากขึ้น เราจะเห็นถึงการเพิ่มความเร่งมากขึ้น และจะลดเวลาที่รถตำรวจไปถึงรถที่วิ่ง

2.7 วัตถุตกอย่างอิสระ

      เป็นที่ทราบกันดีว่า ในกรณีที่ไม่มีแรงต้านของอากาศ วัตถุทั้งหมดที่ตกลงใกล้พื้นผิวโลก จะล่วงหล่นไปยังพื้นโลกเหมือนกัน ด้วยความเร่งคงที่ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงของโลก แต่ในช่วงก่อนปี พ.ศ. 2143 ตอนนั้นยังไม่มีใครยอมรับ โดยอริสโตเติล (Aristotle) ช่วงปี พ.ศ. 159 – 221 นักปรัชญาชาวกรีก เขาถือว่า วัตถุที่หนักกว่า จะตกเร็วกว่าวัตถุที่เบากว่า

รูปปั้นของอริสโตเติล

      นักปราชญ์ชาวอิตาเลี่ยนที่ชื่อ กาลิเลโอ กาลิเลอี (Galileo Galilei) พ.ศ. 2107 – 2185 ผู้ซึ่งเป็นต้นกำเนิดแนวความคิดเกี่ยวกับการตกของวัตถุ จนถึงปัจจุบัน

รูปกาลิเลโอ

กล่าวว่า เขาได้แสดงให้เห็นถึงพฤติกรรมของการตกลงมาของวัตถุโดยการสังเกตจากวัตถุสองอย่างที่มีน้ำหนักแตกต่างกันโดยปล่อยให้ตกลงมาจากยอดหอเอนปิซ่า วัตถุทั้งสองจะตกลงมากระทบพื้นในเวลาเดียวกัน

รูปหอเอนปิซ่า อิตาลี อิตาลี

รูปวาดกาลิเลโอทดลองการตกของวัตถุลงสู่พื้นที่หอเอนปิซ่า

วิดีโอการ์ตูนการทดลองการตกของวัตถุที่หอเอนปิซ่า

วิดีโอการทดลองการตกของวัตถุในอวกาศ

ถึงแม้ว่าอาจมีข้อสงสัยบางอย่างในการทดลอง (เนื่องจากข้อจำกัดในเทคโนโลยีของเครื่องมือในการทดลองหลายอย่างในสมัยนั้น) แต่กาลิเลโอก็ได้มีการทดลองมากมายในการทดลองการตกของวัตถุมากมาย ตัวอย่างที่เห็นก็คือการทดลองในการเคลื่อนที่ของวัตถุบนระนาบเอียง

รูปวาดการทดลองการกลิ้งลูกบอลบนพื้นเอียงของกาลิเลโอ

วิดีโอการทดลองกลิ้งลูกบอลในพื้นลาดเอียง

      ในการทดลองของเขา เขาได้ทดลองกลิ้งลูกบอลบนพื้นลาดเอียง และวัดระยะทางการเคลื่อนที่ในแล้วทำการจับเวลา วัตถุประสงค์ของการเอียงก็คือลดความเร่ง ซึ่งทำให้มันสามารถวัดได้อย่างถูกต้องแม่นยำของการวัดตามช่วงเวลา โดยการทดลองจะค่อย ๆ เพิ่มความชันของทางลาด

รูปการเคลื่อนที่ตามการจับเวลา จากพื้นราบ ระนาบเอียง และแนวดิ่งตามแนวคิดของกาลิเลโอ

      ในที่สุดเขาก็ได้วาดข้อสรุปเกี่ยวกับการตกของวัตถุอย่างอิสระ เพราะลูกบอลตกอย่างอิสระเทียบเท่ากับการที่ลูกบอลตกจากแนวดิ่ง

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“สิ่งที่สอนคนเราไม่ได้ ก็คือ  'สามัญสำนึก' ”