ตัวอย่างที่ 2.8 ระยะทางตำแหน่งของวัตถุที่เคลื่อนที่ไปตามแนวแกนเอ็กซ์ตามเวลาดังกราฟในรูป
รูปกราฟเปรียบเทียบระยะทาง, ความเร็ว, ความเร่ง
รูปด้านบน -กราฟระยะทางเวลาของวัตถุที่เคลื่อนที่ในแนวแกน
-กราฟความเร็ว-เวลา สำหรับวัตถุที่วัดโดยความเอียงของเส้นกราฟของกราฟระยะทางเวลา
-กราฟความเร่ง-เวลา ได้มาจากการวัดความชันเอียงของเส้นกราฟความเร็วเวลา
กราฟความเร็วกับเวลา และความเร่งกับเวลาของวัตถุ
วิธีทำ ความเร็วชั่วขณะใด ๆ ของความชันกราฟระยะทาง-เวลา ที่ชั่วขณะ ระหว่าง t = 0 และt = 4s ความชันของกราฟระยะทาง-เวลา มีรูปแบบที่เพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ
ดังนั้นความเร็วที่เพิ่มขึ้นแบบเส้นตรงดังแสดงในรูปด้านบน ระหว่าง t = 4s และ t = 7s ความชันของกราฟระยะทาง-เวลาคงที่
ดังนั้นค่าของความเร็วในกราฟ ความเร็ว – เวลา ก็ลดลง ที่ t = 15s ความเอียงของกราฟระยะทาง-เวลาเป็นศูนย์ ความเร็วจะเป็นศูนย์ที่ชั่วขณะหนึ่ง ระหว่าง t = 15s และ t = 20s ความลาดเอียงของกราฟระยะทาง – เวลา และความเร็วเป็นลบ และลดลงสม่ำเสมอในช่วงเวลานี้
ในช่วงเวลาของ t = 20s ถึง t = 27s ความลาดเอียงของกราฟ ความลาดเอียงของกราฟระยะทาง – เวลายังคงเป็นลบ และที่ t = 27s มันไปที่ศูนย์ สุดท้าย หลังจากที่ t = 27s มีความลาดเอียง กราฟระยะทาง – เวลาก็คือศูนย์ หมายความว่าวัตถุอยู่นิ่งสำหรับ
ความเร่งชั่วขณะใด ๆ เป็นเส้นลาดชันของกราฟความเร่ง กับเวลา ของวัตถุนี้ แสดงในรูปด้านบน ความเร่งคงที่ และเป็นบวกระหว่าง 0 และ t = 4s มีความชัดดูที่กราฟความเร็ว – เวลาเป็นบวก มันจะเป็นอยู่เมื่ออยู่ระหว่าง t = 4s และ t = 7s และ t > t = 27s เพราะว่า ความชันของกราฟความเร็ว – เวลาเป็นศูนย์ที่เวลาเหล่านี้ มันเป็นลบระหว่าง t = 4s และ t = 7s เพราะว่า ความชันของกราฟความเร็ว – เวลาเป็นลบในระหว่างช่วงเวลานี้
ระหว่าง t = 20s ถึง t = 27s ความเร่งจะเป็นบวกคล้ายกับค่าที่อยู่ระหว่าง 0 และ t = 4s แต่ค่าจะสูงกว่า เพราะว่าความชันของกราฟความเร็ว – เวลา เป็นกราฟที่สูงชันมาก
ข้อสังเกตการณ์เปลี่ยนแปลงในความเร่งอย่างฉับพลันดังแสดงในรูป จะไม่เป็นในทางฟิสิกส์ เพราะการเปลี่ยนแปลงในทันทีที่เกิดขึ้นดังกล่าวจะไม่เกิดขึ้นในทางความเป็นจริง ตอบ
ตัวอย่างที่ 2.9 ความเร่งเฉลี่ย และชั่วขณะ
อนุภาคเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเคลื่อนที่ไปตามแกน x เป็นไปดังสมการ vx = 40 – 5t2
กำหนดให้ vx = ความเร็ว (m/s)
t = เวลา (s)
ให้หา 1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 0 ถึง t = 2 s
2) หาความเร่งที่เวลา t = 2 s
วิธีทำ
1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 0 ถึง t = 2 s
แนวคิดเกี่ยวกับอนุภาคกระทำให้เห็นได้จากการแสดงสมการทางคณิตศาสตร์ มันเป็นการเคลื่อนที่ที่ t = 0 ใช่หรือไม่? ในทิศทางไหน? มันเร็วขึ้น หรือช้าลง?
กราฟความเร็วเวลานั่นเป็นการสร้างกราฟจากความเร็วกับเวลาการแสดงออกที่กำหนดไว้ในปัญหา เพราะว่าเส้นเอียงของทางเข้ากราฟ v-t เป็นลบ เราคาดว่าอัตราเร่งจะเป็นลบ
ให้หาความเร็วที่ ti = tA = 0 และ tf = tB = 2 s โดยแทนคำเหล่านี้เป็นการแสดงออกสำหรับความเร็ว
TA = vx = 40 – 5tA2
= 40 – 5(0)2 = +40 m/s
tB = vx = 40 – 5tB2
= 40 – 5(2)2 = +20 m/s
หาความเร่งเฉลี่ยในช่วงเวลาที่กำหนด Dt = tB – tA = 2 s
a = (vxf – vxi)/(tf – ti)
= (vB – vA)/(tB – tA)
= (20 m/s– 40 m/s)/(2 s– 0 s)
= –10 m/s2
เครื่องหมายลบเป็นสิ่งที่บอกว่าสอดคล้องกับสิ่งที่เราคาดหวัง ความเร่งเฉลี่ย แทนด้วยเส้นสีฟ้าร่วมกับจุดเริ่มต้น และจุดสุดท้ายในกราฟความเร็ว-เวลา เป็นลบ
2) หาความเร่งที่เวลา t = 2 s
วิธีทำ
รู้ว่าความเร็วเริ่มต้นที่เวลา t คือ vx = 40 – 5t2 หาความเร็วที่เวลาในภายหลัง t + Dt
vx = 40 – 5(t + Dt)2
= 40 – 5t2 – 10tDt – 5(Dt)2
หาความเร็วที่เปลี่ยนแปลงในเหนือช่วงเวลา Dt
Dvx = vxf – vxi = –10tDt – 5(Dt)2
เพื่อหาความเร่งที่เวลา t ใด ๆ แบ่งการแสดงนี้โดย Dt และหาค่าโดยวิธีการลิมิตผล Dt เข้าสู่ศูนย์
ax =limDt®0 Dvx/Dt
= limDt®0 (-10t - 5Dt)
= –10t
แทนที่ t = 2 s
ax = –10t = (-10)(2) = -20 m/s 2
เพราะว่า ความเร็วของอนุภาคเป็นบวก และความเร่งเป็นลบ ณ ชั่วขณะหนึ่ง อนุภาคจะชะลอตัวลง
ข้อสังเกต คำตอบในส่วน A และ B มีความแตกต่าง ความเร่งเฉลี่ยในส่วน A คือความชันของเส้นน้ำเงินในรูป 2.9 ต่อเชื่อมกับ a ถึง b ส่วนความเร่งชั่วขณะในส่วน B คือความชันของเส้นเขียวสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุด b สังเกตอีกอย่างหนึ่งว่าความเร่งในตัวอย่างนี้ไม่คงที่ ส่วนสถานะที่เกี่ยวข้องกับความเร่งคงที่ดูได้ในหัวข้อ 2.6
จนถึงขณะนี้เรามีการประเมินค่าอนุพันธ์ของฟังชันก์โดยเริ่มต้นกับคำนิยามของฟังชันก์ และแล้วก็เอาข้อจำกัดของอัตราส่วนเฉพาะ ถ้าคุณคำนวณด้วยแคลคูลัส คุณควรที่จะตระหนักว่ามีกฏเฉพาะอยู่สำหรับการหาอนุพันธ์
กฎเหล่านี้ ดูได้จากภาคผนวก ที่ช่วยให้เราประเมินการอนุพันธ์ได้เร็ว ยกตัวอย่างเช่น มีกฏหนึ่งกล่าวไว้ว่าค่าอนุพันธ์ของค่าคงที่ใด ๆ เท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นอีกตัวอย่าง สมมติว่า x เป็นไปตามสมการด้านล่าง
x = Atn
กำหนดให้ A และ n คือค่าคงที่ (การแสดงออกนี้มีส่วนร่วมกันกับรูปแบบฟังชันก์อย่างมาก) อนุพันธ์ของ x กับ t มีดังนี้
dx/dt = nAtn - 1