ตัวอย่างที่ 2.4 จากสมการการเคลื่อนที่ x(t) = 8t ² + t + 10

 t เป็นเวลา หน่วยเป็น นาที และ s เป็นระยะทาง หน่วยเป็น เมตร เมื่อจับเวลา t₂ = 35 วินาที โดยเริ่มต้นจากจุดหยุดนิ่ง t₁ = 0

จงหา ก) ความเร็วชั่วขณะที่เวลา 0 วินาที; ข) ความเร็วชั่วขณะที่เวลา 15 วินาที

วิธีทำ โจทย์กำหนดสมการการเคลื่อนที่มาให้ก็คือ x(t) = 8t ² + t + 10

จะใช้การหาค่าโดยสมการอนุพันธ์ จากสมการที่ (2.5)

v_int  = dx/dt

(ถ้ายังไม่มีพื้นฐานแคลคูลัส ให้จำสมการชุดนี้ไว้ก่อนนะครับ

                                         d(c)/dt = 0 (c = ค่าคงที่ หรือตัวเลขเพียงอย่างเดียว)

d(x)/dt = 1

    d(xⁿ)/dt = nx^n-1

 ไว้มีโอกาสจะได้มาเรียนรู้กัน)

ก) ความเร็วชั่วขณะที่เวลา 0 วินาที

แก้สมการอนุพันธ์ (จากสมการอนุพันธ์ด้านบน)

x(t) = dx/dt =  d(8t ² + t + 10)/dt

นำ dx/dt เข้าไปคูณในวงเล็บ

= d(8t ²)/dt + d(t)/dt + d(10)/dt

d(xⁿ)/dt = nx^n-1   ® d(8t ²)/dt = (2´8)t ^2-1 = 16t

d(x)/dt = 1                ® d(t)/dt = 1

d(c)/dt = 0        ® d(10)/dt = 0

ก็จะได้

dx/dt =  (2´8)t ^2-1 + t + 10

dx/dt = 16t₁ + 1+0

แทนค่า 0 s ลงในสมการ

= 16´0 + 1

                  = 1 m/s                   ตอบ

ข) ความเร็วชั่วขณะที่เวลา 15 วินาที

dx/dt = 16t₂ + 1

= 16´15 + 1

 = 241 m/s               ตอบ

ดังนั้น ความเร็วชั่วขณะของสมการการเคลื่อนที่ เมื่อ t = 0 จะเท่ากับ 1 เมตรต่อวินาที และเมื่อ t = 15 จะเท่ากับ 241 เมตรต่อวินาที           

2.3 การวิเคราะห์แบบจำลองของอนุภาคภายใต้ความเร็วคงที่

      เราได้กล่าวถึงความสำคัญของแบบจำลองมาแล้ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งความสำคัญของแบบจำลองที่ใช้ในการแก้ปัญหาทางฟิสิกส์ ซึ่งเราจะเรียกมันว่า การวิเคราะห์แบบจำลอง (Analysis model) โดยมันจะช่วยในการวิเคราะห์สถานการณ์ทั่วไปของปัญหาทางด้านฟิสิกส์ และสามารถนำไปสู่แนวทางในการแก้ปัญหาได้

การวิเคราะห์แบบจำลอง จะสามารถพิจารณาได้ทั้ง

1) พฤติกรรมบางอย่างที่เป็นลักษณะเฉพาะในทางฟิสิกส์

2) ปฏิกิริยาระหว่าง สิ่งที่เป็นลักษณะเฉพาะ กับ สภาพแวดล้อมรอบตัว

      เมื่อเราเผชิญกับปัญหาที่เกิดใหม่ สิ่งที่ทำเป็นอันดับแรกก็คือเราควรที่จะระบุรายละเอียดของปัญหา และพยายามที่จะให้ทราบถึงชนิดของปัญหาให้ได้ในเบื้องต้น การใช้การวิเคราะห์แบบจำลองจะทำให้เรามีความพร้อมในการแก้ปัญหา แล้วบางครั้งก็พร้อมที่จะนำไปใช้ในทางปฏิบัติ

      ยกตัวอย่างเช่น รถยนต์คันหนึ่งเคลื่อนที่ไปในแนวตรงด้วยความเร็วคงที่ แต่ถ้ามีคนคนหนึ่งถามว่า ปัญหานี้รถยนต์สำคัญใช่มั๊ย? หรือเส้นทางที่เคลื่อนนี้สำคัญใช่มั๊ย? ถ้าเป็นปัญหาที่ถามแบบกำกวม ก็อาจจะมีคำตอบว่าทั้งใช่ และไม่ใช่ นั่นอาจทำให้เกิดข้อขัดแย้งกัน วิธีการที่ดีที่สุดก็คือ เราต้องทำการสร้างแบบจำลองการแล่นของรถยนต์ ที่มีข้อกำหนดให้รถยนต์เป็นจุดอนุภาคที่วิ่งด้วยความเร็วคงที่เพื่ออธิบายให้หายสงสัย ซึ่งสิ่งเหล่านี้เราจะได้ทำการอธิบายกันในหัวข้อนี้

      วิธีการนี้ก็ค่อนข้างคล้ายกับการนำ ตัวบทกฎหมาย (Legal precedents) ไปใช้ในวิชาชีพด้านกฎหมายในการค้นหาข้อกฎหมายที่นำมาใช้ในคดีความ โดยตัวบทกฎหมายบางหมวดบางมาตราที่นำมาบังคับใช้ อาจเขียนขึ้นมาบังคับใช้กันมานานมาก บางตัวบทอาจมีอายุเป็นร้อยปี และยังสามารถนำมาใช้ได้จนถึงปัจจุบัน นี้เป็นตัวอย่างของการใช้แบบจำลอง และถูกนำไปเป็นข้อโต้แย้งที่ใช้ในทางศาลเพื่อเชื่อมโยงคดีกันอย่างมีเหตุมีผลในการตัดสินความผิดถูกที่เคยสามารถใช้ในคดีเก่า ๆ ที่ผ่านมาแล้ว และคดีที่อาจจะเกิดขึ้นอีกต่อไปในอนาคต

      แน่นอน เมื่อนำมาเทียบเคียงกับกฎทางฟิสิกส์จะมีความคล้ายคลึงกันในการปฏิบัติ สำหรับปัญหาที่พบในทางฟิสิกส์ ที่มีทำการค้นหาคำตอบเราเรียกว่า ฟิสิกส์แบบอย่าง (Physics precedent) ซึ่งเป็นแบบจำลองที่มีความคุ้นเคย เพราะบางแบบมีการปฏิบัติกันมานานมาแล้ว บางแบบอาจมีอายุเป็นร้อยปี และยังสามารถนำไปประยุกต์ใช้งานกับปัญหาที่พบในปัจจุบัน หรืออนาคตได้

เราจะเริ่มต้นวิเคราะห์แบบจำลองตั้งอยู่บนสี่พื้นฐานของแบบจำลองอย่างง่าย

แบบแรกคืออธิบายแบบจำลองอนุภาค (Particle model) กล่าวไว้แล้วในตอนต้นของบทนี้ เราจะมองอนุภาคอยู่ภายใต้พฤติกรรม และสภาพแวดล้อมหลากหลายที่มีความสัมพันธ์กัน ส่วนสิ่งอื่นที่เพิ่มเข้ามาในการวิเคราะห์แบบจำลองก็คือการนำความรู้ในบทต่าง ๆ มาใช้งานเรายังกล่าวไปไม่ถึง ซึ่งจะได้กล่าวในภายหลัง

      โดยสิ่งที่จะกล่าวในบทต่อ ๆ ไป และที่ต้องมีการใช้แบบจำลองอย่างง่ายได้แก่ แบบจำลองระบบ (System model), แบบจำลองวัตถุแข็งเกร็ง (Rigid object model) และแบบจำลองคลื่น (Wave model) ทันทีที่เรามีการวิเคราะห์แบบจำลองในเบื้องต้น เราจะสร้างสิ่งเหล่านี้ขึ้นมา และอาจจะสร้างมันขึ้นอีกครั้ง หรือสร้างหลาย ๆ ครั้ง ในสถานการณ์ที่ปัญหามีความแตกต่างกัน