2.2 อัตราเร็ว และความเร็วชั่วขณะ

      อัตราเร็ว และความเร็ว ณ ชั่วขณะหนึ่ง, ความเร็ว ณ ขณะนั้น หรือความเร็วชั่วขณะ (Instantaneous velocity & speed) คือความเร็ว หรืออัตราเร็วของอนุภาคที่เราต้องการทราบ ณ เวลานั้น ๆ หรือที่จุดตำแหน่งนั้น ๆ ว่ามีความเร็วเท่าไหร่ ซึ่งมีอยู่บ่อยครั้งที่เรามีความจำเป็นที่จะต้องรู้เพื่อที่ต้องการระบุความเร็วที่ต้องการทราบค่าในเวลานั้น ๆ ได้อย่างถูกต้องแม่นยำ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเวลาที่อนุภาคมีความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาที่สั้นมาก ๆ หรือวิ่งผ่านจุดใดจุดหนึ่ง ซึ่งเวลาที่สั้นอย่างมากนี้เป็นช่วงเวลาเพียงแค่นิดเดียว หรือแทบที่จะแช่แข็ง หรือหยุดเวลา (Freeze time) นั้นไปเลย (เวลาเกือบเป็นศูนย์ หรือเวลาเข้าสู่ศูนย์: Dt®0)

รูปสมการทางแคลคูลัส

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

      ในเวลาปลายปี พ.ศ. 2143  ได้มีการคิดค้นสมการหนึ่ง ที่เรียกว่า สมการแคลคูลัส (Calculus) ทำให้นักวิทยาศาสตร์เริ่มที่จะเข้าใจ และหาวิธีอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เคลื่อนที่ ณ ชั่วเวลาขณะใด ขณะหนึ่งได้

      เพื่อให้เห็นได้ชัดเจนจะยกตัวอย่างจากกราฟความเร็วในรูป

รูปกราฟแสดงการเคลื่อนที่ระยะทาง เวลา

รูปรถยนต์เคลื่อนที่แนวตรง

รถยนต์คันหนึ่งเคลื่อนที่เป็นแนวเส้นตรงเคลื่อนที่ไปในระยะทาง 15 เมตร ก่อนที่รถจะเคลื่อนไปถึงจุดหมาย รถอาจจะใช้ความเร็ว, มีการเหยียบเบรก หรือมีการชะลอ เมื่อรถยนต์เคลื่อนไปถึงจุดสีดำในรูปกราฟด้านบน

รูปกราฟความเร็วชั่วขณะ

จากกราฟด้านบนเห็นว่ากราฟเป็นเส้นโค้ง อาจเกิดได้จากรถเกิดการชะลอตัว เมื่อเราต้องการทราบค่าตรงจดใดจุดหนึ่งในกราฟ สมมติตามกราฟด้านบน เราจะทำการลากเส้นตรงมีความชันไปสัมผัสกับเส้นโค้งของกราฟ ตรงจุดเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้งนี้ สามารถคำนวณค่าความเร็วชั่วขณะได้ โดยหาได้จากสมการของความเร็วชั่วขณะ (v_int) เท่ากับค่าลิมิตของอัตราส่วน Dx/Dt ซึ่ง Dt เข้าใกล้ศูนย์ สมการคือ

ความเร็วชั่วขณะ สมมูลกับ ลิมิตระยะขจัด หารด้วย ระยะเวลา โดยระยะเวลาเข้าใกล้ศูนย์

            v_int  º lim_Dt®0 (Dx/Dt)               (2.4)

ส่วนในทางแคลคูลัส ค่าลิมิตนี้จะถูกเรียกเป็น ค่าอนุพันธ์ (Derivative) ของระยะทางเอ็กซ์ เทียบกับเวลาที (ในตอนที่เรียนจะเรียกสั้น ๆ ว่า ดิฟเอ็กซ์บายดิฟที ไม่รู้ใครเรียกแบบนี้บ้าง) เขียนเป็นสมการได้ดังนี้

            v_int  =    dx/dt                 (2.5)

หมายเหตุ ความเป็นมาของลิมิต และสมการแคลคูลัส การพิสูจน์สมการ จะไม่ได้กล่าวไว้ในที่นี้ เพราะเป็นเรื่องของคณิตศาสตร์ แต่จะเขียนให้ดูเพียงสั้น ๆ ถ้ามีโอกาสจะได้กล่าวถึงรายละเอียดให้ครับ แต่จะอยู่ในส่วนของคณิตศาสตร์

ความเร็วชั่วขณะ ค่าที่ได้อาจเป็นได้ทั้งค่าบวก, ลบ หรือค่าศูนย์ก็ได้ ขึ้นอยู่กับลักษณะการพล็อตกราฟ

      จากที่นี่ไป เราใช้คำว่าความเร็ว ก็จะหมายถึงความเร็วชั่วขณะ และเมื่อเราสนใจในความเร็วเฉลี่ย เราควรใช้คำว่าค่าเฉลี่ย

      ส่วนอัตราเร็วชั่วขณะของอนุภาค หมายถึง ขนาดของความเร็วชั่วขณะ ซึ่งจะเป็นเหมือนกับอัตราเร็วเฉลี่ย อัตราเร็วชั่วขณะจะไม่มีทิศทางเข้ามาเกี่ยวข้องกับมัน ยกตัวอย่างเช่น ถ้าอนุภาคหนึ่งมีความเร็วชั่วขณะเท่ากับ +25m/s และอีกอนุภาคหนึ่งมีความเร็วชั่วขณะเท่ากับ -25m/s  (ทั้งสองค่ามีเครื่องหมายบวก, ลบ ก็คือมีทิศทางกำหนดไว้) แต่เมื่อกล่าวถึงอัตราเร็วชั่วขณะ ทั้งคู่จะมีอัตราเร็วอยู่ที่ 25m/s (ไม่มีเครื่องหมายบวก หรือลบ คือไม่มีทิศทางบอก)