1.3 การวิเคราะห์มิติ

      ในทางฟิสิกส์ คำว่า มิติ หรือขนาด (Dimension) หมายถึง ปริมาณฟิสิกส์ทางธรรมชาติ เป็นระยะระหว่างจุดสองจุด ยกตัวอย่างเช่น มิติของความยาว สามารถวัดความยาวได้ในหน่วย ฟุต, เมตร, ไมล์ ฯลฯ ซึ่งเป็นวิธีการที่แตกต่างกันในการเรียกหน่วยความยาว

      โดยทั่วไปสัญลักษณ์ที่ใช้เพื่อระบุมิติของ ความยาว, มวล และเวลา ก็คือ แอล (L), เอ็ม (M) และที (T) ตามลำดับ เรามักจะใช้วงเล็บ [ ] เพื่อแสดงขนาดของปริมาณทางกายภาพ

ยกตัวอย่างเช่น สัญลักษณ์ที่ใช้สำหรับความเร็วก็คือ v

[ความเร็ว] = ความยาว/เวลา

และจากสัญลักษณ์ที่กล่าวไว้ข้างต้น สามารถเขียนมิติของความเร็วได้ดังนี้

[v] = L/T

อีกตัวอย่างหนึ่ง  ขนาดของพื้นที่ A

[พื้นที่] = ความยาว ´ ความยาว (หน่วยที่ได้เป็นตารางหน่วย)

ดังนั้น มิติของความเร็วจะเขียนได้ดังนี้

[A] = L²

ขนาด และหน่วยของพื้นที่, ปริมาตร, ความเร็ว และความเร่งสามารถดูได้จากตารางด้านล่าง

ตารางที่ 1.5 ขนาด และหน่วย

ส่วนขนาดของปริมาณอื่น ๆ เช่น แรง และพลังงาน จะได้อธิบายในภายหลัง

      ในหลาย ๆ สถานการณ์ คุณจำเป็นจะต้องมีการตรวจสอบสมการเป็นการเฉพาะ เพื่อดูว่าตรงกับสิ่งที่คุณต้องการ และดูว่าถูกต้องหรือไม่ ขั้นตอนนี้ เป็นสิ่งที่มีประโยชน์ ที่เรียกว่า การวิเคราะห์มิติ (Dimensional analysis) สามารถนำมาใช้ได้ เพราะว่ามิตินั้น ถือว่าเป็นปริมาณทางพีชคณิตอย่างหนึ่ง ยกตัวอย่างเช่น ปริมาณทางฟิสิกส์หนึ่งสามารถเพิ่มขึ้น หรือลดลงได้ แต่ถึงจะเพิ่มขึ้น หรือลดลงแค่ไหน ขนาดทางมิติจะเหมือนกัน ถ้าเพียงพวกมันมีมิติที่เหมือนกัน (ไม่ว่าจะเป็นหน่วยไหน)

      นอกจากนี้ ต้องคำนึงทั้งสองฝั่งของสมการว่าต้องมีมิติที่เหมือนกันด้วย เมื่อทราบกฎง่าย ๆ เหล่านี้แล้ว คุณก็สามารถใช้การวิเคราะห์มิติเพื่อทำการคำนวณได้ ไม่ว่าการแสดงออกมามีรูปแบบที่ถูกต้อง จะมาจากความสัมพันธ์ใด ๆ จะมีความถูกต้องเกิดขึ้นได้ เฉพาะในกรณีที่มิติในทั้งสองด้านของสมการเหมือนกัน  

      เพื่อให้เห็นภาพชัดเจน จะยกตัวอย่างจาก การหาระยะตำแหน่งของรถคันหนึ่ง สมมติว่า อยู่ ณ ตำแหน่ง x รถคันนี้เคลื่อนที่ไปเป็นเวลา t สมมติว่ารถเริ่มต้นจากจุดหยุดนิ่ง ก็คือ x = 0 และเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ a สมการหาระยะทางของรถ ก็คือ

x = ½ at²

สมการนี้จะได้กล่าวอย่างละเอียดในบทที่ 2 ทีนี้มาดูปริมาณ x ทางด้านซ้ายมือซึ่งเป็นมิติของความยาว เพื่อให้สมการ ที่ตรวจสอบด้านมีติมีความถูกต้อง ปริมาณในด้านขวาก็ต้องมีมิติด้านความยาวด้วย ซึ่งเราสามารถดำเนินการตรวจสอบได้โดยการแทนมิติสำหรับความเร่ง L/T² (ดูตารางที่ 1.5) และเวลา T ไปยัง สมการ ดังนั้น รูปแบบมิติของสมการ x = ½ at² จะได้ ดังนี้

                [L] = (L/T²).T² = L (T = ตัดออก ตามกฎของสมการ)

จากการวิเคราะห์มิติจากสมการด้านบน จะเห็นว่า มิติของเวลาถูกตัดออก ดังที่แสดงจากสมการ ก็จะเหลือแต่มิติของความยาวในด้านขวา ซึ่งตรงกับสมการที่ตัดออกทางด้านซ้าย ซึ่งเป็นวิธีการแก้สมการธรรมดา เมื่อเป็นเช่นนี้ แสดงว่าสมการที่วิเคราะห์นี้ถูกต้อง เมื่อนำมาวิเคราะห์ด้วยการวิเคราะห์มิติ

      ขั้นตอนเหล่านี้อาจจะมีมากขึ้น เมื่อมีการวิเคราะห์มิติ ที่เป็นรูปแบบสมการอื่น ยกตัวอย่างดังด้านล่าง

x µ aⁿt^m

กำหนดให้   n และ m    = เลขยกกำลังที่ได้รับการพิจารณา

                µ              = การผกผัน หรือสัดส่วนปฏิภาค

แต่ไม่ว่าสมการจะเป็นรูปแบบไหน ก็ขอให้รักษากฎที่ถูกต้องของการวิเคราะห์มิติ ก็คือ มิติของทั้งสองด้านของสมการต้องเหมือนกัน เพราะว่าถ้ามิติทางด้านซ้ายเป็นความยาว มิติของทางด้านขวาก็ต้องเป็นความยาวด้วยเช่นกัน

ทีนี้เราลองมาวิเคราะห์มิติสมการ x µ aⁿt^m กัน โดย

[aⁿt^m] = L = L¹T⁰

เพราะว่ามิติของความเร่ง คือ L/T² และมิติของเวลาก็คือ T เราจะได้

(L/T²)ⁿT^m = L¹T⁰    ®       (LⁿT^m-2n) = L¹T⁰

เลขยกกำลังของ L และ T ของสมการ ต้องเหมือนกันทั้งสองด้าน จากเลขยกกำลังของ L เราเห็นได้ทันทีว่า n = 1 จากเลขยกกำลังของ T เราเห็นนั่น m – 2n = 0 ซึ่ง เราแทนค่า n ลงไป จะได้ m – 2(1) = 0 เราจะได้ m = 2    

ให้เรากลับมาที่เดิม การแสดงออกของสมการ

[x] µ aⁿt^m

จะได้                        [x] µ a¹t²

เราสรุปว่า x µ at²

ตัวอย่างที่ 1.1  การวิเคราะห์สมการ: แสดงสมการ v = at กำหนดให้ v แทนความเร็ว, a ความเร่ง และ t เวลา ให้หามิติที่ถูกต้อง

วิธีทำ ระบุมิติของ v จากตารางที่ 1.5

[v] = L/T

ระบุมิติของ a จากตารางที่ 1.5 และคูณด้วยมิติของ t

                        [at] = (L/T²).T = L/T              ตอบ

เพราะฉะนั้น v = at เป็นมิติที่ถูกต้อง เพราะว่า มีมิติเหมือนกันทั้งสองฝั่งของสมการ

ตัวอย่างที่ 1.2 การวิเคราะห์กฎกำลังงาน: สมมติว่า อนุภาคมีการเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง a แล้วมีความเร็วสม่ำเสมอ v ในวงกลมที่มีรัศมี r ซึ่งเป็นสัดส่วนต่อกำลังงานของ r ให้เป็น rⁿ และกำลังงานของ v ให้เป็น v^m จงคำนวณหาค่าของ n และ m และให้เขียนสมการความเร่งในรูปแบบที่ง่าย

วิธีทำ เขียนแสดงสำหรับ a ด้วยมิติคงที่ของสัดส่วน k

a = krⁿv^m

แทนมิติของ a, r และ v:

L/T² = Lⁿ (L/T)^m = (L^n+m)/(T^m)

สมการเลขยกกำลังของ L และ T เพื่อมิติสมการเป็นความสมดุล

n + m = 1 และ m = 2

แก้สองสมการเพื่อหา n:

n = -1

จะเขียนความเร่งได้ ดังนี้:

                                  a = kr^-1v² = k(v²/r)            ตอบ

สมการการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอนี้จะได้กล่าวในโอกาสต่อไป ส่วนในโจทย์แสดงให้ว่า k = 1 ถ้าทำการแก้สมการแล้วพบว่า ค่าคงที่ k จะไม่เท่ากับ 1 ก็แสดงว่าการวิเคราะห์มิติกับสมการนี้ใช้ไม่ได้ เช่นเหมือนกับ เราหาความเร็ว v เป็น km/h แต่ได้ค่าความเร่งมาแทน a ในหน่วย m/s² การวิเคราะห์มิติก็จะผิด