ตัวอย่างที่ 4.8  เรือข้ามฟาก

รูปเรือข้ามฟาก

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

 เรือข้ามฟากแม่น้ำเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 10 km/h สัมพันธ์กับน้ำ น้ำในแม่น้ำมีความเร็วสม่ำเสมอ 5 km/h ไปทางตะวันออกสัมพันธ์กับโลก

รูปตัวอย่างที่ 4.8 a) เรือลำหนึ่งข้ามฟากแม่น้ำ และที่หมายขึ้นไปกระแสน้ำต่ำ b) เพื่อเคลื่อนที่ข้ามแม่น้ำ เป้าหมายของเรือต้องเหนือกระแสน้ำ

a) หากหัวเรือไปทางทิศเหนือ คำนวณหาความเร็วของเรือสัมพัทธ์กับผู้สังเกตการณ์ที่อยู่อยู่บนฝั่งแต่ละด้าน

วิธีทำ

กรอบความคิด: ลองนึกภาพการเคลื่อนที่ของเรือข้ามฟากแม่น้ำกระแสน้ำผลักดันให้คุณไปในกระแสน้ำ คุณจะไม่สามารถเคลื่อนที่เป็นแนวตรงเพื่อข้ามแม่น้ำได้ แต่คุณจะไหลไปตามกระแสน้ำดังรูปด้านบน a

แบ่งประเภทหมวดหมู่: เหตุเพราะเกิดการเคลื่อนที่ผสมกันของคุณที่สัมพัทธ์กับแม่น้ำ และแม่น้ำสัมพัทธ์กับโลก คุณสามารถจัดหมวดหมู่ ของปัญหานี้เป็นการเคลื่อนที่แบบความเร็วสัมพัทธ์

การวิเคราะห์: เราทราบ v_br  ความเร็วของเรือสัมพัทธ์กับแม่น้ำ และ v_rE ความเร็วของแม่น้ำสัมพัทธ์กับโลก สิ่งที่เราจะต้องค้นหาคือ v_bE ความเร็วของเรือ

สัมพัทธ์กับโลก ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านี้ก็คือ

รูปสมการ

เงื่อนไขในสมการจะต้องมีการจัดการเป็นปริมาณเวกเตอร์เวกเตอร์ดังแสดงในรูป a ปริมาณ v_br  ไปทางทิศเหนือ v_rE ไปทางทิศตะวันออก และผลรวมของสองเวกเตอร์ v_bE อยู่ที่มุม q กำหนดในรูป a

หาความเร็ว v_bE  ของเรือ สัมพัทธ์กับโลก โดยการใช้ทฤษฏีปิธากอรัส

รูปแสดงวิธีทำ

ท้ายสุด: เรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 11.2 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ในทิศทาง 26.6 องศาตะวันออกของทิศเหนือที่สัมพัทธ์กับโลก ให้สังเกตว่า ความเร็ว 11.2 กิโลเมตรต่อชั่วโมง มีความเร็วกว่าความเร็วของเรืออีกคือ 10 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

      เพราะว่ามันมีความเร็วของกระแสน้ำเพิ่มเข้ามาจึงทำให้ความเร็วเพิ่มขึ้น สังเกตว่า ในรูป a เป็นความเร็วลัพธ์ของคุณ ที่มุมไปที่ทิศทางข้ามแม่น้ำ ดังนั้นคุณจะจบที่ปลายกระแส ซึ่งเราได้ทำนายไว้

b) หากว่าการเคลื่อนที่ของเรือเคลื่อนที่ความเร็วเดิมคือ 10 km/hr สัมพัทธ์กับแม่น้ำ และเคลื่อนที่ไปยังทิศเหนือ ดังแสดงในรูป 1 ส่วนหัวที่มันควรจะเป็นคืออะไร?

วิธีทำ

กรอบความคิด/แบ่งประเภทหมวดหมู่: คำถามข้อนี้เป็นส่วนขยายของข้อที่แล้ว กรอบแนวคิด และการแบ่งหมวดหมู่จึงอยู่ในแนวเดียวกัน ในกรณีนี้ เราต้องมีจุดหมายที่เรือทวนนี้เพื่อที่จะข้ามแม่น้ำ 

การวิเคราะห์: จะทำการวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมใหม่ในรูป b ซึ่งในส่วนข้อที่แล้ว a) เราทราบว่า v_rE และขนาดของเวกเตอร์ v_br และเราต้องการ v_bE  เพื่อเป็นทิศทางข้ามฝั่งแม่น้ำ ให้สังเกตว่าความแตกต่างระหว่างในรูป a และ b ด้านตรงข้ามมุมฉากในรูป b ไม่ยาวกว่า v_bE

รูปแสดงวิธีทำ

ท้ายสุด: เรือมุ่งหน้าทวนกระแสน้ำ เพื่อเดินทางไปยังทิศเหนือข้ามแม่น้ำ สำหรับสถานการณ์ที่กำหนด เรือต้องคัดท้ายไป 30 องศาทางทิศตะวันตกเฉียงเหนือ สำหรับกระแสน้ำที่เร็วกว่า เรือต้องมีเป้าหมายทวนน้ำที่มุมที่ใหญ่กว่า

บทสรุปบทที่ 4

คำนิยาม

เวกเตอร์ระยะขจัด (Displacement vector: ) สำหรับอนุภาค คือ ความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์ตำแหน่งสุดท้าย กับเวกเตอร์ตำแหน่งเริ่มต้นของมัน ดังสมการ

รูปคำอธิบาย และสมการที่ 4.1

ความเร็วเฉลี่ย (Average velocity: ) ของอนุภาคในระหว่างช่วงเวลา Dt ซึ่งระยะขจัดของอนุภาคหารด้วยช่วงเวลา

รูปสมการที่ 4.2

ความเร็วชั่วขณะ (Instantaneous velocity) ของอนุภาคถูกกำหนดให้เป็นขีดจำกัด หรือลิมิตของความเร็วเฉลี่ยซึ่ง Dt เข้าสู่ศูนย์ ความเร็วชั่วขณะจะเป็นดังนี้

รูปสมการที่ 4.3

ความเร่งเฉลี่ย (Average acceleration: ) ของอนุภาคกำหนดให้เป็นการเปลี่ยนแปลงในเวกเตอร์ความเร็วชั่วขณะ เวกเตอร์ความเร็ว หารด้วยช่วงเวลา Dt ในระหว่างที่มีการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้น สมการจะเป็นดังนี้

รูปสมการที่ 4.4 ความเร่งเฉลี่ย

ความเร่งชั่วขณะ (Instantaneous acceleration:) ในความเร่งชั่วขณะ กำหนดใช้ค่าลิมิตของการอัตราส่วนการหารของเวกเตอร์ความเร็วกับช่วงเวลา /Dt ซึ่ง Dt เข้าสู่ศูนย์ ความเร่งชั่วขณะจะเป็นดังนี้

รูปสมการที่ 4.5 ความเร่งชั่วขณะ

การเคลื่อนที่แบบวิถีโค้ง หรือโปรเจคไตล์ (Projectile motion) เป็นประเภทหนึ่งของการเคลื่อนที่ในสองมิติ แสดงโดยวัตถุที่เคลื่อนที่อยู่กลางอากาศใกล้กับพื้นโลก และตกลงพื้นอย่างอิสระ การเคลื่อนที่นี้สามารถนำมาวิเคราะห์โดยประยุกต์ใช้แบบจำลองของอนุภาคเคลื่อนที่ภายใต้ความเร็วคงที่ เพื่อการเคลื่อนที่แบบวิถีโค้ง ในทิศทางแกน x และการจำลองการเคลื่อนที่ของอนุภาคภายใต้ความเร่งคงที่ (a_y=-g) ในทิศทางแกน y

อนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่ในส่วนของวงกลมที่มีการเคลื่อนที่อัตราเร็วคงที่แสดงว่าเป็น การเคลื่อนที่วงกลมสม่ำเสมอ (Uniform circular motion) 

แนวคิด และหลักการ

หากอนุภาคเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ ความเร่ง  และความเร็ว และตำแหน่ง ที่ เวลา t = 0 เวกเตอร์ความเร็ว และตำแหน่งของมันในบางช่วงเวลา t คือ

รูปสมการที่ 4.8

รูปสมการที่ 4.9

สำหรับการเคลื่อนที่สองมิติในระนาบเอ็กซ์วายภายใต้ความเร่งคงที่ การอธิบายในแต่ละเวกเตอร์เหล่านี้ มีค่าเท่ากับการอธิบายสองส่วนประกอบ คืออันหนึ่งสำหรับในการเคลื่อนที่ในระนาบเอ็กซ์ และอีกอันก็สำหรับการเคลื่อนที่ในระนาบวาย

      มันเป็นสิ่งที่มีประโยชน์ในการนำมาคิดในการเคลื่อนที่แบบวิถีโค้ง ในการผสมผสานของการวิเคราะห์แบบจำลองทั้งสอง

1) แบบจำลองของอนุภาคในการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในทิศทางแนวนอน หรือแกนเอ็กซ์

2) แบบจำลองของอนุภาคภายใต้ความเร่งคงที่ในทิศทางแนวดิ่ง หรือแกนวาย ที่มีความเร่งดิ่งลงคงที่มีขนาดเท่ากับ g = 9.80 m/s²

      อนุภาคในการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอภายใต้ความเร่งในแนวรัศมี a_r    เพราะว่าทิศทางของความเร็วเปลี่ยนแปลงในเวลา ความเร่งนี้เรียกว่า ความเร่งสู่ศูนย์กลาง และทิศทางของมันจะวิ่งเข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลมเสมอ

      การเคลื่อนที่ของอนุภาคไปตามส่วนของเส้นโค้ง เช่นวิธีการที่ทั้งขนาด และทิศทางของความเร็วที่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา อนุภาคมีเวกเตอร์ความเร่งทำให้มันสามารถพิจารณาเป็นเวกเตอร์ได้สองส่วนประกอบ

1) เวกเตอร์ความเร่งส่วนประกอบในแนวรัศมี เป็นสาเหตุให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในทิศทางของความเร็ว

2) เวกเตอร์ความเร่งส่วนประกอบในแนวสัมผัส  เป็นสาเหตุให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของขนาดความเร็ว

ขนาดของ a_r คือ v²/r และขนาดของ a_t  คือ |dv/dt|

      ความเร็ว u_PA ของการวัดอนุภาคในกรอบอ้างอิงอยู่กับที่ S_A สามารถสัมพันธ์ต่อความเร็ว u_PA  ของการวัดอนุภาคที่เหมือนกันในกรอบอ้างอิงกำลังเคลื่อนที่ S_B โดย

รูปสมการที่ 4.19 และ 4.20

กำหนดให้ เป็นความเร็วของ S_B ที่สัมพัทธ์กับ S_A

การวิเคราะห์แบบจำลองเพื่อการแก้ปัญหา

อนุภาคในการเคลื่อนที่วงกลมสม่ำเสมอ หากอนุภาคเคลื่อนที่ในส่วนของเส้นโค้งวงกลมของรัศมี r ด้วยความเร็วคงที่ v ขนาดของความเร่งที่เคลื่อนที่เข้าหาจุดศูนย์กลางหาได้โดย

a_c = v²/r                              (4.14)

และคาบเวลา ของการเคลื่อนที่ของอนุภาค หาได้โดย

T = 2pr/v                             (4.15)

จบบทที่ 4

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“พ่อ แม่ คือ รากฐานของชีวิต

ถ้าไม่คิดบำรุงราก ก็ยากที่จะเจริญ”

ดังตฤณ