รูป a) รถยนต์เคลื่อนที่ไปตามวงเวียนด้วยอัตราเร็วคงที่เป็นวงกลม

b) อนุภาคเคลื่อนที่ตามแนวส่วนของวงกลมจาก A ไป B เวกเตอร์ความเร็วเปลี่ยนแปลงไปจาก v_i ถึง v_f

c) การสร้างสำหรับการคำนวณทิศทางของการเปลี่ยนแปลงในความเร็ว Dv ซึ่งเป็นการเข้าหาศูนย์กลางของวงกลมขนาดเล็กของ Dr     (ซ้ำ)

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

        รูปb) และ c) ด้านบน เวกเตอร์ความเร็ว มีการวาดหัวต่อหางของเวกเตอร์ Dv  ต่อที่หัวของเวกเตอร์ เป็นตัวแทนของเวกเตอร์ที่บวกกัน v_f = v_i +Dv  

      ทั้งรูป b) และ c) เราสามารถเขียนรูปสามเหลี่ยมเพื่อช่วยในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ ในมุม Dq ระหว่างเวกเตอร์สองตำแหน่ง ในรูปที่ b) จะเหมือนกันระหว่างมุมของเวกเตอร์ความเร็วในรูปที่ c) เพราะว่าเวกเตอร์ความเร็ว v  มักจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ตำแหน่ง r เพราะฉะนั้น สามเหลี่ยมทั้งสองรูปจึงมีลักษณะคล้ายกัน (สามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน ก็คือ ถ้าหากมุมระหว่างด้านใด ๆ สองด้านเหมือนกันในสามเหลี่ยมทั้งคู่ และถ้าขนาดของความยาวของด้านเหล่านี้เหมือนกัน) เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านสำหรับสามเหลี่ยมทั้งสองในรูป b) และ c) ดังนี้

รูปสมการ

กำหนดให้   v = v_i = v_f

                r = r_i = r_f

สมการนี้สามารถสามารถแก้ปัญหาสำหรับค่าสัมบูรณ์ Dv  และการแสดงที่ได้สามารถแทนไปยังสมการที่ 4.4 เพื่อให้ขนาดของความเร่งเฉลี่ย เหนือช่วงเวลาสำหรับการเคลื่อนที่ของอนุภาคจาก A ถึง B

รูปสมการ

      ตอนที่รูปจุด A และ B ในรูปที่ b) เข้าใกล้กันมาก ซึ่ง A และ B จะเป็นช่วงเวลา Dt เข้าสู่ศูนย์ ค่าสัมบูรณ์ Dr  เข้าสู่ระยะทางที่เคลื่อนที่ โดยอนุภาคตามส่วนของวงกลม และอัตรา Dr/Dt เข้าสู่อัตราเร็ว v

      นอกจากนี้ ความเร่งเฉลี่ย จะกลายไปเป็นความเร่งชั่วขณะที่จุด A ดังนั้น ในลิมิต Dt®0 ขนาดของความเร่ง ก็คือ

a_c = v²/r                              (4.14)

ความเร่งอย่างนี้ เรียกว่า ความเร่งสู่ศูนย์กลาง (Centripetal acceleration) (หมายถึง แสวงหาศูนย์กลาง) ตัวห้อยของสัญลักษณ์ความเร่งความเร็วเป็นเข้าสู่ศูนย์กลาง

      ในหลาย ๆ ครั้ง หลาย ๆ สถานการณ์ มันจะสะดวกยิ่งขึ้น ถ้าจะอธิบายการเคลื่อนที่ ของอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ที่อยู่ในรัศมีของวงกลม r ในรูปแบบของ คาบเวลา (Period: T) ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นช่วงเวลาที่จำเป็นสำหรับเคลื่อนที่ที่สมบูรณ์ของอนุภาค

      ในช่วงเวลา T อนุภาคเคลื่อนที่เป็นระยะทางของ 2pr ซึ่งเท่ากับเส้นรอบวงของวงกลมของอนุภาค ดังนั้น เพราะอัตราเร็วของมันเท่ากับเส้นรอบวงของส่วนของวงกลมหารด้วยคาบเวลา หรือ v = 2pr/T แล้วทำการย้ายข้างสมการเพื่อหาค่า ของคาบเวลาได้ดังนี้

T = 2pr/v                             (4.15)

สมการ 4.14 และ 4.15 จะถูกใช้ก็ต่อเมื่อ อนุภาคอยู่ในรูปแบบของการเคลื่อนที่เป็นวงกลม ซึ่งจะถูกระบุตามความเหมาะสมตามสถานการณ์ที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 4.6  ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลางของโลก

อะไรคือความเร่งสู่ศูนย์กลางของโลก ขณะที่โลกเคลื่อนที่ตามวงโคจรของมันรอบดวงอาทิตย์

รูปโลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ ในตัวอย่างที่ 4.6

วิธีทำ

กรอบความคิด: เราลองคิดถึงรูปของโลกมีวงโคจรเป็นวงกลม เราจะจำลองโลก เราจะจำลองโลกให้เป็นอนุภาค เคลื่อนที่เป็นวงโคจรของโลก เป็นวงกลม (ความเป็นจริง โลกเคลื่อนที่เป็นรูปวงรี จะได้อธิบายในบทที่ 13)

แบ่งประเภทหมวดหมู่: ขั้นตอนแนวคิดที่ช่วยให้เราสามารถจัดหมวดหมู่ของปัญหาเป็นการเคลื่อนที่ของอนุภาคในรูปแบบวงกลม

การวิเคราะห์: เราไม่ทราบว่าความเร็วการโคจรของโลกแทนลงไปในสมการที่ 4.14 ด้วยความช่วยเหลือของสมการที่ 4.15 ทำให้เราสามารถสร้างสมการที่ 4.14 ใหม่ ในเทอมคาบของวงโคจรของโลก ซึ่งเราจะรู้คือหนึ่งปี และรัศมีของวงโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์มีค่าเท่ากับ 1.496´10¹¹เมตร

จากการผสมสมการที่ 4.14 และ 4.15 จะได้

a_c = v²/r

= (2pr/T)²/r

= 4p²r/T²     

แทนค่าตัวเลขลงในสมการ

a_c = 4p²(1.496 ´ 10¹¹m)/(1 yr)² ´ (1 yr/(3.156 ´ 10⁷s))

= 5.93 ´ 10^-3m/s²                   ตอบ

ท้ายสุด: ความเร่งนี้มีจำนวนน้อยมากกว่าความเร่งของวัตถุที่ตกอย่างอิสระบนพื้นผิวโลก เทคนิคที่สำคัญก็คือเราจะเรียนรู้ ที่มีการเปลี่ยนความเร็ว v ในสมการที่ 4.14 ในเทอมของคาบ T ของการเคลื่อนที่ ในปัญหามากมาย ก็มีโอกาสที่จะรู้จัก T มากกว่า v

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“ข้อดีของการล้ม

ก็คือ

การได้หัดลุกขึ้นใหม่”