ตัวอย่างที่ 3.4   ระยะขจัดลัพธ์

อนุภาคเคลื่อนที่บนแกนสามแกน ซึ่งแต่ละจุดจะมีตำแหน่งต่าง ๆ  ดังนี้

รูปสมการตำแหน่งของอนุภาค

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

ให้หาเครื่องหมายหน่วยเวกเตอร์ อีกทั้งหาระยะขจัดลัพธ์ และขนาดของมัน

วิธีทำ

ถึงแม้ว่า ในแกนเอ็กซ์จะเพียงพอที่จะหาจุดของตำแหน่งในหนึ่งมิติ แต่เราจำเป็นต้องทราบเวกเตอร์ลัพธ์ เพื่อให้สัมพันธ์กับตำแหน่งจุดอื่นในสอง หรือสามมิติ

เครื่องหมาย เดลต้าอาร์ลัพธ์ Dr ซึ่งลักษณะทั่วไปของระยะขจัดในหนึ่งมิติ Dx ตามสมการที่ 2.1

      แต่ในเรื่องของระยะขจัด ในพื้นที่สามมิติจะมีความยากมากกว่าการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ เพื่อให้เห็นภาพควรวาดลงบนกระดาษดูก่อน

      สำหรับปัญหานี้ จะเริ่มต้นจินตนาการด้วยการลากดินสอที่จุดกำเนิดในกระดาษกราฟ หรือมีการวาดแกนเอ็กซ์, วาย และแซด

      โดยเวกเตอร์ลัพธ์แรก (สีแดง) ลากดินสอไป15 เซนติเมตรไปทางขวาตลอดแกนเอ็กซ์ แล้วลาก 30 เซนติเมตรขึ้นไปตามแนวแกนวาย และ 12 เซนติเมตร มาทางแกนแซด ลากเส้นประตั้งฉากเพื่อให้มาตัดกันก็จะเป็นตำแหน่งของเวกเตอร์ลัพธ์ 1

      เวกเตอร์ที่สอง (สีน้ำเงิน) ลากดินสอไป 23 เซนติเมตรขนานกับแกนบวกเอ็กซ์ แล้วลากดินสอไป 14 เซนติเมตรขนาดกับแกนลบวาย และ 5 เซนติเมตรไปทางแกนลบแซด ลากเส้นประตั้งฉากเพื่อให้มาตัดกันก็จะเป็นตำแหน่งของเวกเตอร์ลัพธ์ 2  ตอนนี้ที่ระยะขจัด จากจุดกำเนิดจะถูกพิจารณาเป็นการบวกเวกเตอร์สองเวกเตอร์ +  

      เวกเตอร์ที่สาม (สีเขียว) ลากดินสอไปทางด้านซ้ายของแกนเอ็กซ์ หรือลบเอ็กซ์ เท่ากับ 13 เซนติเมตร และสุดท้าย ลากดินสอไป 15 เซนติเมตรขนาดไปกับกราฟไปทางบวกวาย ลากเส้นประตั้งฉากเพื่อให้มาตัดกันก็จะเป็นตำแหน่งของเวกเตอร์ลัพธ์ 3  ตำแหน่งสุดท้ายจะพิจารณาเป็นเวกเตอร์ลัพธ์ทั้งสามบวกกัน +  +  จากจุดกำเนิด เขียนกราฟตามรูปด้านล่าง

รูปการพล็อตกราฟตำแหน่งของเวกเตอร์

      ถึงแม้ว่าอาจจะมีความยากลำบากในการคิดในรูปแบบสามมิติ เราสามารถแทนปัญหานี้ไปเป็นปัญหาในด้านการคำนวณในทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเหมาะสำหรับการคิดเวกเตอร์ที่ซับซ้อน สามารถดูวิธีได้ตามด้านล่างนี้

เพื่อหาระยะขจัดลัพธ์ ให้ทำการบวกเวกเตอร์ทั้งสาม

รูปแสดงวิธีทำการคำนวณตัวอย่างที่ 3.4

ตัวอย่างที่ 3.5   การเดินทาง

การเดินทางของนักเดินทาง เริ่มต้นเดินทางอันดับแรกเดินไปทางทิศตะวันออกเฉียงใต้ไป 25.0 กิโลเมตร แล้วหยุด และตั้งเต็นท์ นอนในคืนนั้น วันต่อมา เขาเดินไป 40.0 กิโลเมตรไปในทิศทาง 60.0° ไปทางเหนือของทิศตะวันออก ไปสิ้นสุดที่การตั้งนั่งร้านในป่า ให้หา

รูปนักเดินทาง

รูปการเดินทางของนักเดินทาง

a) คำนวณองค์ประกอบระยะขจัดของการเดินทางในแต่ละวัน

b) คำนวณส่วนประกอบย่อยของการเคลื่อนที่ระยะขจัดลัพธ์  สำหรับการเดินทางให้ทำหา และอธิบายเป็นเวกเตอร์ลัพธ์ ในรูปแบบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

วิธีทำ

เราคิดปัญหาได้จากการวาดรูปด้านล่าง

รูประยะขจัดเวกเตอร์

                ถ้าแสดงถึงระยะขจัดของเวกเตอร์วันแรก กับวันที่สองโดย เวกเตอร์เอและเวกเตอร์บีตามลำดับ และใช้ยานพาหนะเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นของพิกัด เราจะได้เวกเตอร์ตามรูปด้านบน

a) คำนวณองค์ประกอบระยะขจัดของการเดินทางในแต่ละวัน

      การวิเคราะห์ ระยะขจัดเวกเตอร์เอ  มีขนาดเท่ากับ 25.0 km มีทิศทาง 45° ด้านล่างของแกน เอ็กซ์ หาส่วนประกอบของเวกเตอร์เอ โดยการใช้สมการ 3.8 และ 3.9

รูปวิธีทำ

ค่าลบของ A_y แสดงให้เห็นว่าการเดินทางในทิศทางลบไปตามแกน y ในวันแรก เครื่องหมายของ A_x และ A_y นอกจากนี้ยังมีให้เห็น จากสมการที่ 3.17

หาส่วนประกอบของเวกเตอร์บี  การใช้สมการ 3.8 และ3.9

รูปวิธีทำ

b) คำนวณส่วนประกอบย่อยของการเคลื่อนที่ระยะขจัดลัพธ์  สำหรับการเดินทางหา และอธิบายสำหรับเวกเตอร์ลัพธ์ ในส่วนของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

รูปวิธีทำ

กล่าวโดยสรุป มองไปที่ภาพกราฟในรูปด้านบน เราประเมินค่าตำแหน่งของการตั้งนั่งร้านในป่ามีระยะทางค่าประมาณ 38 กิโลเมตร, 17 กิโลเมตร ซึ่งสอดคล้องกับส่วนประกอบของเวกเตอร์ลัพธ์ในตำแหน่งสุดท้ายของการเดินทาง

      นอกจากนี้ส่วนประกอบย่อยทั้งสองของเวกเตอร์ลัพธ์เป็นบวกทั้งคู่ เมื่อวางตำแหน่งสุดท้ายในระบบพิกัดฉาก ซึ่งเป็นส่วนประกอบกับรูปกราฟตัวอย่างนี้ข้างบน

บทสรุปบทที่ 3

คำนิยาม

ปริมาณสเกลาร์ (Scalar quantities) คือ มีค่าแต่เพียงขนาดตัวเลข แต่ไม่มีทิศทางมาเกี่ยวข้อง

ปริมาณเวกเตอร์ (Vector quantities) คือ มีค่าทั้งขนาด และทิศทาง ทำตามกฎการบวกเวกเตอร์ ขนาดของเวกเตอร์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ

แนวคิด และหลักการ

      เมื่อมีเวกเตอร์ สองเวกเตอร์ หรือมากกว่าสองเวกเตอร์มาบวกกัน พวกมันทั้งหมดต้องเป็นปริมาณหน่วย และประเภทเดียวกัน เราสามารถบวกสองเวกเตอร์เอ และเวกเตอร์บี วิธีการนี้ทำให้หาแรงลัพธ์ เวกเตอร์ลัพธ์ = เวกเตอร์เอ + เวกเตอร์บี ลากจากหัวต่อจากหาง และหางต่อหัว

      วิธีการที่สองของการบวกเวกเตอร์โดยการใช้ส่วนประกอบของเวกเตอร์ย่อย ไปตามแนวแกน กล่าวคือ ส่วนประกอบแกนเอ็กซ์ A_x ของเวกเตอร์เอ มีค่าเท่ากับภาพฉายของเวกเตอร์เอไปตามแนวแกนเอ็กซ์ของระบบพิกัดคาทีเชียน ซึ่งจะเขียนได้คือ A_x = A cos q แล้วส่วนประกอบตามแกนวาย A_y ของเวกเตอร์เอเป็นภาพฉายของเวกเตอร์เอตามแกนวาย ก็คือ A_y = A sin q

รูปอธิบายสรุป

      เราสามารถหาแรงลัพธ์ของสอง หรือมากกว่าสองเวกเตอร์ได้โดยการแก้ปัญหาเวกเตอร์ทั้งหมด แตกไปยังส่วนประกอบแกนเอ็กซ์ และวาย การรวมส่วนประกอบลัพธ์ส่วนประกอบย่อยเอ็กซ์ และวายเหล่านี้ และการใช้ ทฤษฏีพิธากอรัส เพื่อหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ เราสามารถหามุมของเวกเตอร์ลัพธ์นับจากแกนเอ็กซ์โดยการใช้ฟังชันก์ของตรีโกณมิติ

จบบทที่ 3

บทต่อไปจะเรียนรู้เกี่ยวกับ การเคลื่อนที่ในสองมิติ

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“ถ้าไม่มี สติ และปัญญาเสียแล้ว

ความสุข ก็อาจจะกลายเป็นความทุกข์ไปได้ง่าย ๆ”