3.4 ส่วนประกอบของเวกเตอร์

      วิธีการทางกราฟิก หรือการวัดด้วยไม้บรรทัดของการบวกเวกเตอร์ ไม่ค่อยแนะนำให้นำไปใช้ในการคำนวณที่ต้องการความแม่นยำสูง หรือนำไปใช้ในปัญหาที่เป็นสามมิติ

      ในหัวข้อนี้ เราจะพิจารณาวิธีการของการบวกเวกเตอร์ที่เกิดจากการแตกแรงฉายไปตามแนวแกนของกราฟ การฉายนี้เรียกว่า ส่วนประกอบของเวกเตอร์ (Components of the vector) หรือส่วนประกอบสี่เหลี่ยมผืนผ้า (Rectangular components) เวกเตอร์ใด ๆ สามารถได้โดยการแตกแรงเข้าสู่แนวแกน

      พิจารณาเวกเตอร์ เอ วางนอนอยู่ในระนาบเอ็กซ์ วาย และทำให้มุม q กับแกนบวกเอ็กซ์ ดังแสดงในรูปด้านล่าง  

รูปการแตกแรงของเวกเตอร์ไปตามแนวแกนเอ็กซ์ และวาย

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

เวกเตอร์สามารถแตกออกเป็นแรงย่อยไปตามแนวแกน ซึ่งเป็นส่วนประกอบเวกเตอร์เอ เวกเตอร์เอฉายไปตามแนวแกนเอ็กซ์ ก็คือเวกเตอร์เอเอ็กซ์  ซึ่งมีทิศทางที่ขนานไปกับแกนเอ็กซ์ และเวกเตอร์เอฉายไปตามแนวแกนวาย ก็คือเวกเตอร์เอวาย  ซึ่งมีทิศทางที่ขนานไปกับแกนวาย

รูปเวกเตอร์ตามแนวแกน

      เราสามารถเคลื่อนย้ายเวกเตอร์เอวายไปทางแกนบวกเอ็กซ์ไปเป็นหัวต่อหาง เวกเตอร์ทั้งสามก็จะมีรูปแบบสามเหลี่ยมมุมฉาก

      และนั่นก็คือ เวกเตอร์เอ เท่ากับ เวกเตอร์เอเอ็กซ์ บวกกับ เวกเตอร์เอวาย =  +  เรามักจะอ้างถึง ส่วนประกอบของเวกเตอร์เอ  เขียนโดย A_x และ A_y (ไม่ต้องใช้ตัวอักษรตัวหนา) ส่วนประกอบ A_x เป็นภาพฉายของเวกเตอร์เอ  ตามแนวแกนเอ็กซ์ และส่วนประกอบ A_y เป็นภาพฉายของเวกเตอร์เอ  ตามแนวแกนวาย

รูปการแตกแรงไปตามแนวแกน และย้ายเวกเตอร์แกนวาย

      ส่วนประกอบของการแตกแรงไปตามแนวแกนเหล่านี้ สามารถทำการแตกไปได้ทั้งแกนบวก หรือลบก็ได้ ส่วนประกอบ A_x เป็นบวก ถ้าส่วนประกอบเวกเตอร์จุดเวกเตอร์เอเอ็กซ์ ในทิศทางบวกเอ็กซ์ และเป็นลบถ้า จุดในทางลบในทิศทางแกนเอ็กซ์ เหมือนกับส่วนประกอบ A_y

                คำนิยามของไซน์ และโคไซน์ เราเห็นว่า cos q = A_x/ A และ sin q = A_y/ A ดังนั้น ส่วนประกอบเวกเตอร์เอก็คือ

A_x = A cos q                                (3.8)

 A_y= A sin q                                 (3.9)

รูปเวกเตอร์ที่แตกแรง

      ขนาดของส่วนประกอบแรงที่แตกตามแนวแกนเหล่านี้ คือ ความยาวของด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากด้านตรงข้ามมุมฉากของความยาว A

      เพราะฉะนั้น ขนาด และทิศทางของเวกเตอร์เอ ก็คือ ความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกันของส่วนประกอบแรง ซึ่งสามารถอธิบายได้ดังนี้

รูปสมการ 3.10 และ3.11

                ให้สังเกตว่าเครื่องหมาย A_x และ A_y เป็นแบบไหน จะขึ้นอยู่กับมุม q ยกตัวอย่างเช่น ถ้ามุม q = 120° ส่วนประกอบของแรงที่แตกในแนวแกนเอ็กซ์ A_x จะมีค่าเป็นลบ และในแนวแกนวาย A_y จะมีค่าเป็นบวก

      หรือถ้ามุม q = 225° ส่วนประกอบของแรงทั้งคู่จะมีค่าเป็นลบ ดังรูปด้านล่าง

รูปเครื่องหมายของส่วนประกอบเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับทิศทางตำแหน่งของเวกเตอร์ว่าจะไปทางไหน

สรุปให้เห็นว่าเครื่องหมายนำหน้าส่วนประกอบแรง เมื่อเวกเตอร์เอ ตั้งอยู่ในแนวด้าน (Quadrants) ต่าง ๆ

      เมื่อแก้ปัญหา คุณสามารถระบุเวกเตอร์เอ ทั้งที่มีส่วนประกอบของแรงย่อย A_x และ A_y หรือที่มีขนาด A และทิศทาง q

      ถ้ากำลังทำการแก้ปัญหาทางฟิสิกส์ในเรื่องเวกเตอร์โดยมีการแตกแรงไปยังแกนหลัก ปัญหาจำนวนมากก็สามารถสร้างเส้นสมมติที่เป็นแกนหลัก ที่ใช้ในการคำนวณ ซึ่งมันจะสะดวกที่จะแสดงส่วนประกอบของเวกเตอร์ไปตามระบบพิกัดทั้งในแนวตั้ง และแนวนอน

      ยกตัวอย่างเช่น เราจะลองมาพิจารณาวัตถุที่วางอยู่บน พื้นเอียง (Inclined planes) ในตัวอย่างเหล่านี้ เพื่อความสะดวกในการคิดคำนวณ มักจะปรับทิศทางในแกนเอ็กซ์ให้ขนานไปกับระนาบเอียง และแกนวายตั้งฉากกับระนาบที่เอียงดังรูปข้างล่าง 

รูปตัวอย่างวัตถุบนระนาบเอียงโดยกำหนดแกนไปตามระนาบที่เอียง

ข้อคิดดี ๆ ที่นำมาฝาก

“อย่าพยายามเป็นคนอื่น หรือคนที่เราอยากจะเป็น

เพราะมันคือ การดูถูกตัวเราเอง

จงเป็นสิ่งที่ตัวเราเป็น ในแบบที่ดีที่สุด แบบที่เราภูมิใจกับมันมากที่สุด”