ตัวอย่างที่ 2.8 ระยะทางตำแหน่งของวัตถุที่เคลื่อนที่ไปตามแนวแกนเอ็กซ์ตามเวลาดังกราฟในรูป

รูปกราฟเปรียบเทียบระยะทาง, ความเร็ว, ความเร่ง

รูปด้านบน -กราฟระยะทางเวลาของวัตถุที่เคลื่อนที่ในแนวแกน

-กราฟความเร็ว-เวลา สำหรับวัตถุที่วัดโดยความเอียงของเส้นกราฟของกราฟระยะทางเวลา

-กราฟความเร่ง-เวลา ได้มาจากการวัดความชันเอียงของเส้นกราฟความเร็วเวลา

กราฟความเร็วกับเวลา และความเร่งกับเวลาของวัตถุ

วิธีทำ ความเร็วชั่วขณะใด ๆ ของความชันกราฟระยะทาง-เวลา ที่ชั่วขณะ ระหว่าง t = 0 และt = 4s ความชันของกราฟระยะทาง-เวลา มีรูปแบบที่เพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ

ดังนั้นความเร็วที่เพิ่มขึ้นแบบเส้นตรงดังแสดงในรูปด้านบน ระหว่าง t = 4s และ t = 7s ความชันของกราฟระยะทาง-เวลาคงที่

ดังนั้นค่าของความเร็วในกราฟ ความเร็ว – เวลา ก็ลดลง ที่ t = 15s ความเอียงของกราฟระยะทาง-เวลาเป็นศูนย์ ความเร็วจะเป็นศูนย์ที่ชั่วขณะหนึ่ง ระหว่าง t = 15s และ t = 20s ความลาดเอียงของกราฟระยะทาง – เวลา และความเร็วเป็นลบ และลดลงสม่ำเสมอในช่วงเวลานี้

ในช่วงเวลาของ t = 20s ถึง t = 27s ความลาดเอียงของกราฟ ความลาดเอียงของกราฟระยะทาง – เวลายังคงเป็นลบ และที่ t = 27s มันไปที่ศูนย์ สุดท้าย หลังจากที่ t = 27s  มีความลาดเอียง กราฟระยะทาง – เวลาก็คือศูนย์ หมายความว่าวัตถุอยู่นิ่งสำหรับ

      ความเร่งชั่วขณะใด ๆ เป็นเส้นลาดชันของกราฟความเร่ง กับเวลา ของวัตถุนี้ แสดงในรูปด้านบน ความเร่งคงที่ และเป็นบวกระหว่าง 0 และ t = 4s มีความชัดดูที่กราฟความเร็ว – เวลาเป็นบวก มันจะเป็นอยู่เมื่ออยู่ระหว่าง t = 4s และ t = 7s และ t > t = 27s   เพราะว่า ความชันของกราฟความเร็ว – เวลาเป็นศูนย์ที่เวลาเหล่านี้ มันเป็นลบระหว่าง t = 4s และ t = 7s เพราะว่า ความชันของกราฟความเร็ว – เวลาเป็นลบในระหว่างช่วงเวลานี้

ระหว่าง t = 20s ถึง t = 27s ความเร่งจะเป็นบวกคล้ายกับค่าที่อยู่ระหว่าง 0 และ t = 4s แต่ค่าจะสูงกว่า เพราะว่าความชันของกราฟความเร็ว – เวลา เป็นกราฟที่สูงชันมาก

      ข้อสังเกตการณ์เปลี่ยนแปลงในความเร่งอย่างฉับพลันดังแสดงในรูป จะไม่เป็นในทางฟิสิกส์ เพราะการเปลี่ยนแปลงในทันทีที่เกิดขึ้นดังกล่าวจะไม่เกิดขึ้นในทางความเป็นจริง          ตอบ

ตัวอย่างที่ 2.9 ความเร่งเฉลี่ย และชั่วขณะ

อนุภาคเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเคลื่อนที่ไปตามแกน x เป็นไปดังสมการ v_x = 40 – 5t² 

กำหนดให้      v_x = ความเร็ว (m/s)

                  t =  เวลา (s)

ให้หา     1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 0 ถึง t = 2 s

            2) หาความเร่งที่เวลา t = 2 s

วิธีทำ

1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา t = 0 ถึง t = 2 s

แนวคิดเกี่ยวกับอนุภาคกระทำให้เห็นได้จากการแสดงสมการทางคณิตศาสตร์ มันเป็นการเคลื่อนที่ที่ t = 0 ใช่หรือไม่? ในทิศทางไหน? มันเร็วขึ้น หรือช้าลง?

กราฟความเร็วเวลานั่นเป็นการสร้างกราฟจากความเร็วกับเวลาการแสดงออกที่กำหนดไว้ในปัญหา เพราะว่าเส้นเอียงของทางเข้ากราฟ v-t เป็นลบ เราคาดว่าอัตราเร่งจะเป็นลบ

ให้หาความเร็วที่ t_i = t_A = 0 และ t_f = t_B = 2 s  โดยแทนคำเหล่านี้เป็นการแสดงออกสำหรับความเร็ว

T_A = v_x = 40 – 5t_A²

= 40 – 5(0)² = +40 m/s

t_B = v_x = 40 – 5t_B²

= 40 – 5(2)² = +20 m/s

หาความเร่งเฉลี่ยในช่วงเวลาที่กำหนด Dt = t_B – t_A = 2 s

a = (v_xf – v_xi)/(t_f – t_i)

= (v_B – v_A)/(t_B – t_A)

= (20 m/s– 40 m/s)/(2 s– 0 s)

= –10 m/s²

เครื่องหมายลบเป็นสิ่งที่บอกว่าสอดคล้องกับสิ่งที่เราคาดหวัง ความเร่งเฉลี่ย แทนด้วยเส้นสีฟ้าร่วมกับจุดเริ่มต้น และจุดสุดท้ายในกราฟความเร็ว-เวลา เป็นลบ

2) หาความเร่งที่เวลา t = 2 s

วิธีทำ

รู้ว่าความเร็วเริ่มต้นที่เวลา t คือ v_x = 40 – 5t² หาความเร็วที่เวลาในภายหลัง t + Dt

v_x = 40 – 5(t + Dt)²

= 40 – 5t² – 10tDt – 5(Dt)²

หาความเร็วที่เปลี่ยนแปลงในเหนือช่วงเวลา Dt

Dv_x = v_xf – v_xi = –10tDt – 5(Dt)²

เพื่อหาความเร่งที่เวลา t ใด ๆ แบ่งการแสดงนี้โดย Dt และหาค่าโดยวิธีการลิมิตผล Dt เข้าสู่ศูนย์

a_x =lim_Dt®0 Dv_x/Dt

= lim_Dt®0 (-10t - 5Dt)

= –10t

แทนที่ t = 2 s

a_x = –10t = (-10)(2) = -20 m/s ²

เพราะว่า ความเร็วของอนุภาคเป็นบวก และความเร่งเป็นลบ ณ ชั่วขณะหนึ่ง อนุภาคจะชะลอตัวลง

ข้อสังเกต คำตอบในส่วน A และ B มีความแตกต่าง ความเร่งเฉลี่ยในส่วน A คือความชันของเส้นน้ำเงินในรูป 2.9 ต่อเชื่อมกับ a ถึง b ส่วนความเร่งชั่วขณะในส่วน B คือความชันของเส้นเขียวสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุด b สังเกตอีกอย่างหนึ่งว่าความเร่งในตัวอย่างนี้ไม่คงที่ ส่วนสถานะที่เกี่ยวข้องกับความเร่งคงที่ดูได้ในหัวข้อ 2.6 

      จนถึงขณะนี้เรามีการประเมินค่าอนุพันธ์ของฟังชันก์โดยเริ่มต้นกับคำนิยามของฟังชันก์ และแล้วก็เอาข้อจำกัดของอัตราส่วนเฉพาะ ถ้าคุณคำนวณด้วยแคลคูลัส คุณควรที่จะตระหนักว่ามีกฏเฉพาะอยู่สำหรับการหาอนุพันธ์

      กฎเหล่านี้ ดูได้จากภาคผนวก ที่ช่วยให้เราประเมินการอนุพันธ์ได้เร็ว ยกตัวอย่างเช่น มีกฏหนึ่งกล่าวไว้ว่าค่าอนุพันธ์ของค่าคงที่ใด ๆ เท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นอีกตัวอย่าง สมมติว่า x เป็นไปตามสมการด้านล่าง

x = Atⁿ

กำหนดให้      A และ n คือค่าคงที่ (การแสดงออกนี้มีส่วนร่วมกันกับรูปแบบฟังชันก์อย่างมาก) อนุพันธ์ของ x กับ t มีดังนี้

dx/dt = nAt^{n - 1}