เมื่อกำลังแก้ปัญหา เราจะเห็นค่าที่ไม่รู้อยู่ นั่นคือสิ่งที่เราจะต้องทำการหาคำตอบ ซึ่งต้องหาวิธีในการแก้ปัญหา อาจมีสมการมากมายหลายกรณีที่พบว่า จะใช้อะไรเพื่อแก้ปัญหา ซึ่งสิ่งที่ดีที่สุดในตอนเริ่มแก้ปัญหาขั้นแรกก็คือ ระบุการวิเคราะห์แบบจำลองให้เหมาะสมกับปัญหา

      ถ้าสามารถทำได้อย่างนี้จะทำให้เราเกิดการคิดอย่างรอบคอบต่อปัญหาที่เกิดขึ้น และสามารถเชื่อมโยง จับคู่ หรือบางครั้งอาจทำให้นึกถึงสิ่งที่เคยเห็นเคยผ่านตา มาก่อน

      ทันทีที่มีการระบุการวิเคราะห์แบบจำลอง เราจะใช้ตัวเลขเข้ามาเกี่ยวข้องในสมการ เพื่อเลือกใช้ให้เหมาะสมกับแบบจำลอง เพราะฉะนั้น ก็กล่าวได้ว่า การวิเคราะห์แบบจำลองที่ใช้ จะแสดงในรูปแบบสมการทางคณิตศาสตร์

      ทีนี้เราจะลองใช้สมการที่ 2.2 เพื่อนำมาสร้างการวิเคราะห์แบบจำลองเพื่อใช้ในการแก้ปัญหา สมมติว่า สร้างแบบจำลองของอนุภาคให้อยู่ภายใต้ความเร็วคงที่ โดยสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้ในสถานการณ์ใด ๆ ก็ได้ ซึ่งสถานการณ์แบบนี้มักเกิดขึ้นบ่อยครั้ง ดังนั้นการสร้างแบบจำลองจึงเป็นสิ่งสำคัญ

      ถ้าความเร็วของอนุภาคคงที่ แล้วความเร็วชั่วขณะของอนุภาค ณ จุดใด ๆ ในช่วงเวลาหนึ่ง จะมีค่าเท่ากับความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลานั้น นั่นก็คือ

v_x = v_x,avg

เพราะฉะนั้น จากสมการที่ 2.2 ทำให้เรามีสมการเพื่อใช้ในทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์นี้ ก็คือ

ความเร็ว = ระยะขจัด / ระยะเวลา

v_x = Dx / Dt                    (2.6)

กำหนดให้   v_x = ความเร็ว (m/s, ft/s)

                Dx = ระยะขจัด (m, ft)

                Dt = ระยะเวลา (s)

จำไว้ว่า Dx = x_f – x_i เราจะได้           v_x = (x_f – x_i) / Dt

เมื่อทำการย้ายข้างสมการ                 x_f – x_i = v_xDt

                                                x_f = x_i + v_x Dt

จากสมการด้านบนนี้ บอกเราได้ว่าตำแหน่งของอนุภาคเริ่มต้น x_i ที่เวลา t = 0 นำไปบวกกับระยะขจัด v_xDt  นั่นเกิดขึ้นในระหว่างช่วงเวลา Dt

      แต่ในทางปฏิบัติ เรามักจะเริ่มที่จุดเริ่มต้นของเวลาที่ t = 0 และเวลาในตอนท้ายก็จะเป็น t_f = t ดังนั้นสมการของเราก็จะกลายเป็น

ระยะทางสุดท้าย = ระยะทางเริ่มต้น + ความเร็ว ´ เวลา

            x_f = x_i + v_x t    (v_x = ค่าคงที่)                  (2.7)

กำหนดให้   x_f = ระยะทางสุดท้าย (m, ft)

                x_i = ระยะทางเริ่มต้น (m, ft)

                v_x = ความเร็ว (m/s, ft/s)

                t = เวลา (s)

ตัวอย่างที่ 2.5 จงหาระยะทางสุดท้ายที่ทำให้รถยนต์เคลื่อนที่แนวตรงจากจุดเริ่มต้นที่รถเคลื่อนที่มาได้ 120 เมตร รถยนต์เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ใช้เวลาในการเดินทาง 2 นาที

วิธีทำ โจทย์กำหนด x_f = ? ; x_i = 120 m; v_x= 80 km/hr = 22.22 m/s; t = 2 min = 120 s

นำค่าจากโจทย์มาแทนในสมการ (2.7) แล้วก็หาค่าระยะทางสุดท้าย

x_f = x_i + v_x t

= 120 m + (22.22 m/s).120s

= 2786.666 m = 2.789 km

ดังนั้น ระยะทางสุดท้ายที่รถยนต์แล่นไปได้ 2789.666 เมตร หรือ 2.789 กิโลเมตร       ตอบ

สมการที่ 2.6 และ 2.7 เป็นสมการพื้นฐานที่ใช้ในแบบจำลองของอนุภาคภายใต้ความเร็วคงที่ และเมื่อใดก็ตามที่มีการการวิเคราะห์แบบจำลองของปัญหาที่อนุภาคเคลื่อนที่ภายใต้ความเร็วคงที่ คุณก็สามารถใช้สมการเหล่านี้ได้เลย

กราฟแสดงระยะทาง – เวลา ที่อนุภาคเคลื่อนที่ภายใต้ความเร็วคงที่ ค่าของความเร็วคงที่ก็คือการเอียงของเส้นกราฟ

แนะนำเพื่อให้อ่านได้ต่อเนื่องให้ คลิกขวาเลือก Open link in new window

      จากกราฟด้านบน แสดงให้เห็นถึงกราฟการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ แสดง เส้นที่เอียงซึ่งแสดงถึงการเคลื่อนที่แบบคงที่ และเป็นค่าของความเร็ว ซึ่งสมการที่ 2.7 เป็นสมการเส้นตรง ที่แสดงในรูปแบบสมการทางคณิตศาสตร์ของอนุภาคภายใต้แบบจำลองที่มีความเร็วคงที่ ความเอียงของเส้นตรงก็คือ v_x

ตัวอย่างที่ 2.6 นักวิทยาศาสตร์ท่านหนึ่งได้ทำการศึกษาเกี่ยวกับ ชีวะกลศาสตร์ (Biomechanics) ในร่างกายมนุษย์ เขาได้คำนวณหาค่าความเร็วของนักวิ่งที่วิ่งทางตรงวิ่งด้วยความเร็วคงที่ โดยนักวิทยาศาสตร์เริ่มจับเวลาที่จุดสตาร์ท และให้นักวิ่งหยุดภายหลังที่นักวิ่งวิ่งไปได้ระยะทาง 20 เมตร นาฬิกาจับเวลาหยุดอยู่ที่ 4 วินาที

1) ให้หาความเร็วของนักวิ่ง และ

2) ถ้านักวิ่งยังคงวิ่งต่อไปอีกหลังผ่านจุดที่หยุดอีก 10 วินาที ให้หาระยะทางที่วิ่งว่าเป็นเท่าไหร่

รูปชีวะกลศาสตร์ของนักวิ่ง

วิธีทำ การที่เราจำลองการเคลื่อนที่ของนักวิ่งสมมติให้เป็นอนุภาค ก็เพราะว่าในความเป็นจริงนักวิ่งจะมีขนาด มีแขน มีขา รายละเอียดเหล่านี้ไม่จำเป็น เพราะสภาพปัญหาของนักวิ่ง ที่วิ่งด้วยอัตราคงที่ เราสามารถจำลองให้เป็นอนุภาคภายใต้ได้จากการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่

1) หาความเร็วของนักวิ่ง จากการแสดงตัวแบบจำลองเราสามารถใช้สมการที่ 2.6 เพื่อหาความเร็วคงที่ของนักวิ่ง ดังนี้

v_x = Dx / Dt

          = (x_f – x_i) / Dt

             = (20 m – 0)/4 s

            = 5 m/s          ตอบ

2) นักวิ่งวิ่งต่อไปอีก 10 วินาที หาระยะทางที่วิ่งได้โดยใช้สมการที่ 2.7 และคำตอบของความเร็วที่คำนวณได้

x_f = x_i + v_x t

         = 0 + (5 m/s).(10 s)

         = 50 m           ตอบ

      การย้ายข้างของสมการทางคณิตศาสตร์สำหรับความเร็วคงที่ ดูจากสมการที่ 2.6 และสมการที่ 2.7 สมการเหล่านี้สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาสำหรับตัวแปรใด ๆ ในสมการที่เกิดขึ้นที่ไม่ทราบค่า แยกออกจากตัวแปรที่ทราบค่า เช่น เราสามารถหาระยะทาง หรือตำแหน่งเมื่อเรารู้ค่าความเร็ว และเวลา ซึ่งได้จากการย้ายสมการ

      ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราทราบค่าความเร็ว และค่าของตำแหน่งสุดท้าย เราก็สามารถหาค่าของเวลาได้ตามสมการที่ 2.7

      อนุภาคหนึ่ง เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ พร้อมกับอัตราเร็วคงที่ตลอดแนวเส้นตรง ตอนนี้พิจารณาอนุภาคเคลื่อนที่กับอัตราเร็วคงที่ตลอดเส้นกราฟ สถานการณ์นี้สามารถแสดงได้ด้วยรูปแบบของอนุภาคภายใต้อัตราเร็วคงที่ สมการพื้นฐานสำหรับแบบจำลองนี้คือ สมการ 2.3 พร้อมกับอัตราเร็วเฉลี่ย v_avg แทนที่ด้วยความเร็วคงที่ v ดังนั้นจะได้

                  v = d/Dt                   (2.8)

ตัวอย่างที่ 2.7 การเคลื่อนที่ของอนุภาคที่อัตราเร็วคงที่เป็นเส้นวงกลม ถ้าความเร็วเป็น 5 เมตรต่อวินาที และรัศมีของเส้นเดินทางคือ 10 เมตร เราสามารถคำนวณช่วงเวลาที่จำเป็นที่ต้องใช้ช่วงเวลาในการเดินทางเป็นวงกลม

  v = d/Dt 

Dt = d/v

        = 2pr/ v

                     = 2p(10 m)/5 m/s

                   = 12.6 s      ตอบ