1.6 เลขนัยสำคัญ

      เมื่อปริมาณบางอย่างที่วัดออกมา ค่าที่วัดได้จะได้ค่าที่แน่นอนค่าหนึ่งซึ่งแสดงถึงความเที่ยงตรงของปริมาณที่วัด หรือคิดคำนวณออกมาได้ แต่มีบางค่าที่วัดได้ไม่แน่นอน  ค่าไม่แน่นอนที่ได้มานี้จะขึ้นอยู่กับปัจจัยต่าง ๆ เช่น คุณภาพของเครื่องมือ และอุปกรณ์, ทักษะของการทดลอง และจำนวนของการทำการวัด 

      ในการวัดจำนวน ตัวเลขที่มีนัยสำคัญ หรือเลขนัยสำคัญ (Significant figures) สามารถใช้เพื่อการอธิบายตัวเลขทุกตัวที่มีความแน่นอน รวมกับตัวเลขอีกตัวที่แสดงความไม่แน่นอน บางอย่างที่เกี่ยวกับความไม่แน่นอนของจำนวนเลขนัยสำคัญ ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนตัวเลขที่ใช้เพื่อแสดงการวัด โดยสามารถยกตัวอย่างเพื่อการอธิบายได้ดังนี้

      ตัวอย่างของเลขนัยสำคัญ สมมติว่ามีการวัดรัศมีของแผ่นซีดี โดยการใช้ไม้บรรทัดวัด ความแม่นยำอาจไม่มากพอ จึงมีค่าความเผื่อในการวัดรัศมีของแผ่นซีดี อาจเป็น ±0.1cm

      เพราะเหตุที่ว่า ±0.1cm เป็นค่าความไม่แน่นอนของการวัด ถ้าวัดรัศมีของแผ่นซีดีได้ 6 cm โดย 6 cm เป็นค่าที่วัดได้จริง ส่วน ±0.1cm เป็นตัวเลขที่ประมาณขึ้นมา เราสามารถเขียนรัศมีของแผ่นซีดีได้ดังนี้ 6.0±0.1cm ทำให้เราสามารถเรียก ค่า 5.9 หรือ 6.1 cm ได้ว่า มีเลขนัยสำคัญ 2 ตัว

1.6.1 การใช้เลขนัยสำคัญ

1) ตัวเลข (ที่ไม่ใช่เลข 0) เป็นเลขนัยสำคัญ เช่น 123 (เลขนัยสำคัญ 3 ตัว), 3.1415 (เลขนัยสำคัญ 5 ตัว)  

2) ส่วนเลข 0 ที่อยู่ระหว่างตัวเลข นับว่าเป็นเลขนัยสำคัญ เช่น 2014 (เลขนัยสำคัญ 4 ตัว), 101050 (เลขนัยสำคัญ 6 ตัว)

3) เลข 0 ที่อยู่ทางด้านซ้ายของตัวเลข ไม่เป็นเลขนัยสำคัญ โดยมีวัตถุประสงค์ก็เพื่อแสดงตำแหน่งจุดทศนิยม เช่น 0.0045 (เลขนัยสำคัญ 2 ตัว), 0.08804 (เลขนัยสำคัญ 4 ตัว)

4) ตัวเลขมีค่ามากกว่า 1 แล้วมีเลข 0 เขียนไปทางขวามือ ถือว่าเป็นเลขนัยสำคัญ เช่น 10.0 (เลขนัยสำคัญ 3 ตัว), 58.004 (เลขนัยสำคัญ 5 ตัว)

5) ตัวเลขมีค่าน้อยกว่า 1 แล้วมีเลข 0 ไปทางขวามือ หรืออยู่ระหว่างตัวเลขถือเป็นเลขนัยสำคัญ เช่น 0.50047 (เลขนัยสำคัญ 5 ตัว), 0.000098504 (เลขนัยสำคัญ 5 ตัว) 

      อย่างไรก็ดี ตัวเลขค่าหนึ่งอาจมีหลากหลายเลขนัยสำคัญ ซึ่งมีความเป็นไปได้ที่จะเข้าใจผิด ยกตัวอย่าง สมติว่ามวลของวัตถุหนึ่งวัดได้เป็น 3800 กรัม (เลขนัยสำคัญ 4 ตัว) แต่ค่านี้ยังคลุมเครือเพราะเราไม่แน่นอนในค่าศูนย์สองตัวที่เห็น ซึ่งอาจมีการใช้จุดทศนิยมเพิ่มเข้ามา หรือทำให้เป็นตัวแทนของตัวเลขที่มีนัยสำคัญในการวัด เพื่อลดจำนวนที่เขียน มันเป็นสิ่งธรรมดาที่จะใช้เครื่องหมายในทางคณิตศาสตร์ เพื่อแสดงตัวเลขที่มีนัยสำคัญ

      ในกรณีตัวอย่างคลุมเครือนี้ เราอาจจะแสดงมวลเป็น 3.8 ´ 10³ g (เลขนัยสำคัญ 2 ตัว) 3.80 ´ 10³ g (เลขนัยสำคัญ 3 ตัว) และ1.500 ´ 10³ g  (เลขนัยสำคัญ 4 ตัว)

      ในทำนองเดียวกันค่าตัวเลขที่มีน้อยกว่า 1 เช่น 2.3 ´ 10^-4  (เลขนัยสำคัญ 2 ตัว) และ 2.30 ´ 10^-4 (เลขนัยสำคัญ 3 ตัว)

1.6.2 การคำนวณเลขนัยสำคัญ

      ในการแก้ปัญหาในทางคณิตศาสตร์ เรามักจะทำผ่านการบวก, ลบ, คูณ ,หาร และอื่น ๆ ในการทำเช่นนั้น ต้องทำให้แน่ใจในการแสดงผลลัพธ์เพื่อให้มีจำนวนเลขนัยสำคัญที่เหมาะสม

1.6.2.1 บวก และลบ

      กำหนดเลขนัยสำคัญ เมื่อตัวเลขถูกบวก หรือลบ จำนวนของเลขทศนิยมในผลที่ได้ควรเท่ากับจำนวนที่น้อยที่สุดของตำแหน่งทศนิยมของเทอมใด ๆ ในการบวก หรือลบกัน

ตัวอย่างของการบวกเลขผลรวมด้านล่างนี้

53.2 + 88.293 = 141.4

ข้อสังเกต เราไม่รายงานคำตอบ 141.493 เพราะว่าตัวเลขที่ต่ำสุดของตำแหน่งทศนิยมก็คือหนึ่ง สำหรับ 53.2 เพราะฉะนั้น คำตอบของเราต้องมีเลขหลังจุดทศนิยมตัวเดียวเท่านั้น

      กฎของการบวก และลบบ่อยครั้งให้ผลลัพธ์ในคำตอบที่มีความแตกต่างกันของตัวเลขนัยสำคัญ จากค่าเริ่มต้น ยกตัวอย่าง ลองพิจารณาการบวก และลบเลขเหล่านี้

1.0001 + 0.0003 = 1.0004

1.002 – 0.998 = 0.004

      ในตัวอย่างแรก ผลลัพธ์ที่ได้มีเลขนัยสำคัญมี 5 ตัว ถึงแม้ว่าเลข 0.0003 มีเลขนัยสำคัญเพียงตัวเดียว ในทำนองเดียวกัน ตัวอย่างที่สอง ผลลัพธ์ที่ได้มีเลขนัยสำคัญเพียงตัวเดียวนั้น แม้ว่าตัวเลขที่ทำการลบจะมีเลขนัยสำคัญสาม และสี่ตัวตามลำดับ

1.6.2.2 การคูณ และหาร

การคูณ และหารเลขนัยสำคัญ ผลลัพธ์ที่ได้จะมีจำนวนตัวเลขที่น้อยที่สุด จากตัวเลขที่นำเอามาคูณ หรือหาร

จากตัวอย่างรัศมีแผ่นซีดี จะทำการหาพื้นที่ของแผ่นซีดี ดังนี้

A = pr² = p(6.0 cm)² = 1.1 ´ 10² cm²

      จากการคำนวณจะได้ตัวเลขเท่ากับ 113.0973355 เป็นค่าที่ชัดเจนและละเอียด แต่ในการใช้งานไม่จำเป็นที่จะต้องใช้ตัวเลขทั้งหมดก็ได้

      จากตัวเลขจำนวนเต็มที่หาได้คือ 113 cm² (เลขนัยสำคัญ 3 ตัว) แต่รัศมีของแผ่นซีดีมีเลขนัยสำคัญเพียงสองตัวเท่านั้น (เขียนตามรัศมีที่วัดได้) ดังนั้นจะต้องรายงานผลออกมาเพียง 2 ค่า ก็คือ 1.1 ถึงจะเข้ากฎการคูณ และหารเลขนัยสำคัญ 

1.6.3 การปัดเศษ

      ถ้าจำนวนของเลขนัยสำคัญที่ได้จากการคำนวณมีเลขหลังจุดทศนิยมมากเกินไป จึงมีความจำเป็นที่จะต้องปัดเศษให้ได้ตามกฎ บวก ลบ คูณ หาร เลขนัยสำคัญ

      วิธีการปัดเศษจะมีกฎดังนี้ ถ้าค่าที่ต้องการหลังจุดทศนิยมมีมากกว่า 5 เช่น 1.446 ก็ให้ปัดเศษขึ้นไป 1 ก็จะกลายเป็น 1.45

      แต่ถ้าหลักสุดท้ายมีค่าน้อยกว่า 5 ตัวเลขหลักสุดท้ายจะไม่เพิ่มขึ้นให้คงไว้เช่นเดิม เช่น 1.343 กลายเป็น 1.34

      แต่ถ้าตัวเลขหลักสุดท้ายเป็น 5 ตัวเลขเศษจะปัดขึ้นหรือปัดลงจะขึ้นอยู่กับค่าใกล้เคียง (กฎนี้ช่วยในการหลีกเลี่ยงการสะสมข้อผิดพลาดในกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่มีตัวเลขที่ยาว)

      เทคนิคการหลีกเลี่ยงที่จะสะสมความผิดพลาด ก็คือการชะลอการปัดเศษของตัวเลขในการคำนวณที่ยาว ทำการคำนวณจนกว่าจะเสร็จสิ้นในขั้นตอนสุดท้าย คือผลลัพธ์ที่ได้ท้ายสุดซึ่งเป็นคำตอบ แล้วถึงทำการการปัดเศษเป็นจำนวนที่ถูกต้องของเลขนัยสำคัญ 

ตัวอย่างที่ 1.5  การหาพื้นที่ในการปูกระเบื้อง

      ห้อง ๆ หนึ่งมีความจำเป็นที่จะปูกระเบื้อง ห้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าวัดความยาวได้ 12.71 เมตร วัดความกว้างได้ 3.46 เมตร ให้หาพื้นที่ที่จะปูกระเบื้อง

วิธีทำ

ถ้าคูณ 12.71 กับ3.46 ในเครื่องคิดเลข คุณจะเห็นว่าค่าที่ได้จะเท่ากับ 43.9766 ตารางเมตร จำนวนที่ลงตัวควรจะเป็นเท่าไหร่

      กฎสำหรับการคูณบอกว่าต้องการเพียงเลขที่เป็นนัยสำคัญ โดยคำตอบจะอยู่ในปริมาณการวัดที่มีค่าต่ำที่สุดของตัวเลขนัยสำคัญ โดยค่าตัวเลขนัยสำคัญน้อยสุด 3 ตัว ก็คือ 3.46 เมตร

ดังนั้นคำตอบสุดท้ายควรจะเป็น      44.0 ตารางเมตร  ตอบ

จบบทที่ 1